Solusi

Misalkan

$a=\sqrt{x-\large{\frac{1}{x}}}$

$b=\sqrt{1-\large{\frac{1}{x}}}$

Dari soal kita tahu $a+b=x$         (1)

Sekarang kita cari hubungan $a^2$ dan $b^2$
$a^2-b^2=x-1$
$(a-b)(a+b)=x-1$
$(a-b)x=x-1$

Untuk $x \neq 0$ berlaku
$a-b=1-\large{\frac{1}{x}}$         (2)

Eliminasi $b$ dari (1) dan (2)
$2a=x-\large{\frac{1}{x}}+1$
$2a=a^2+1$
$a^2-2a+1=0$
$(a-1)^2=0$
$a=1$

$\sqrt{x-\large{\frac{1}{x}}}=1$

$x^2-x-1=0$

$x=\large{\frac {1\pm \sqrt{5}}{2}}$

Catatan 1
Perhatikan bahwa simbol akar (radical) selalu memberikan hasil positif yaitu $\sqrt{x^2}=|x|$
Dengan kata lain, $\sqrt{x^2}=-|x|$ adalah salah
Contoh 1: $\sqrt{25}=5$ adalah benar
Contoh 2: $\sqrt{25}=-5$ adalah salah

Karena $1\lt \sqrt{5}$ maka $x$ yang mungkin hanyalah $x=\large{\frac {1 + \sqrt{5}}{2}}$

Catatan 2
$\large{\frac {1 + \sqrt{5}}{2}}$ dikenal sebagai golden ratio