Solusi

Tarik garis bantu $OB$ dan $OC$

Tinjau segitiga biru dan hijau. Karena keduanya memiliki tiga sisi yang sama panjang, maka $\triangle{BOC}$ kongruen dengan $\triangle{DOC}$ (sisi-sisi-sisi)
Berarti $\angle{BCO}=\angle{DCO}$

Tarik garis bantu $BD$ sedemikian sehingga $BD$ berpotongan dengan $OC$ di titik $E$

Karena $BC=CD=b$ dan $\angle{BCE}=\angle{DCE}$, maka $\triangle{BEC}$ kongruen dengan $\triangle{DEC}$ (sisi-sudut-sisi)
Karena $\triangle{BEC}$ kongruen dengan $\triangle{DEC}$, maka $\angle{BEC}=\angle{DEC}=90°$
Karena $\angle{ABD}$ adalah sudut keliling yang menghadap diameter, maka $\angle{ABD}=90°$

Ambil titik $F$ di tengah-tengah garis $AB$ lalu tarik garis bantu $OF$

Karena $BF=AF=\large{\frac{a}{2}}$ dan $OB=OA=r$, maka $\triangle{BFO}$ kongruen dengan $\triangle{AFO}$ (sisi-sisi-sisi)
Karena $\triangle{BFO}$ kongruen dengan $\triangle{AFO}$, maka $\angle{BFO}=\angle{AFO}=90°$
Karena $\angle{BFO}=\angle{FBE}=\angle{BEO}=90°$, maka segiempat $\square{FBEO}$ adalah sebuah persegi panjang
Karena $\square{FBEO}$ adalah persegi panjang, maka $BF=EO$ dan $FO=BE=d$
Karena $BF=EO$, maka $c=r-\large{\frac{a}{2}}$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras kita dapat dua persamaan
$r^2={(\large{\frac{a}{2}})}^2+d^2$
$b^2={(r-\large{\frac{a}{2}})}^2+d^2$

Eliminasi $d^2$, kita dapat $2r^2-ar-b^2=0$

Dengan rumus abc, kita dapat $r=\large{\frac{a \pm \sqrt{a^2+8b^2}}{4}}$

Karena $a\lt \sqrt{a^2+8b^2}$, maka $r$ yang mungkin adalah $\large{\frac{a+\sqrt{a^2+8b^2}}{4}}$

Dengan demikian, diameter $AD=\large{\frac{a+\sqrt{a^2+8b^2}}{2}}$