Solusi

Persamaan (1)
$xyz(x+y+z)=1$
$y(x+y+z)=\large{\frac{1}{xz}}$

Persamaan (2)
$(x+y)(y+z)=xy+xz+y^2+yz$
$(x+y)(y+z)=y(x+y+z)+xz$

Substitusi (1) ke (2)
$(x+y)(y+z)=\large{\frac{1}{xz}}+xz$

Misalkan $a=xz$
Karena $x,z\gt 0$ maka $a \gt 0$

Misalkan $b=\large{\frac{1}{xz}}$
Karena $x,z\gt 0$ maka $b \gt 0$

Karena $a,b \gt 0$ berlaku ketaksamaan AM-GM
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
Nilai minimum $a+b$ akan dicapai pada saat $a=b$
Nilai minimum $\large{\frac{1}{xz}}+xz$ akan dicapai pada saat $\large{\frac{1}{xz}}=xz$
Yaitu pada saat $|xz|=1$
Karena $x,z \gt 0$ maka solusi $|xz|$ yang mungkin adalah $xz=1$

Dengan demikian, nilai minimum $(x+y)(y+z)$ adalah $\frac{1}{1}+1=2$