9 kali

Pembuangan 1:

Air yang terbuang ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Air yang tersisa ${\displaystyle \frac{1}{1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Pembuangan 2:

Air yang terbuang ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

Air yang tersisa ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Pembuangan 3:

Air yang terbuang ${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

Air yang tersisa ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Pembuangan 4:

Air yang terbuang ${\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{20}}$

Air yang tersisa ${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$

Hipotesa:

Dari sini sebetulnya sudah bisa dibuat hipotesa bahwa setelah pembuangan ke-$n$ air yang tersisa adalah ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

Jika hipotesa ini benar, maka sisa air ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ akan terjadi setelah pembuangan ke-9

Pembuktian hipotesa akan dilakukan menggunakan induksi matematika.

Langkah 1:

Pada kasus $n=1$, memang betul air yang tersisa adalah ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

Langkah 2:

Asumsikan benar untuk $n=k$ dan diperoleh sisa air setelah pembuangan ke-$k$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{k+1}}$

Langkah 3:

Sekarang, buktikan benar untuk $n=k+1$

Jika hipotesa ini benar, maka sisa air setelah pembuangan $k+1$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{k+2}}$

Pada pembuangan $k+1$, banyaknya air yang dibuang oleh Andri adalah ${\displaystyle \frac{1}{k+2}}$ dari air yang tersisa.

Karena air yang tersisa pada pembuangan ke-k adalah ${\displaystyle \frac{1}{k+1}}$

Maka banyaknya air yang dibuang oleh Andri pada pembuangan $k+1$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{(k+2)}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{(k+1)}}$

Sisa air setelah pembuangan $k+1$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{(k+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{(k+2)}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k+2}}$

Jadi hipotesa di awal terbukti benar. Dengan demikian sisa air ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ akan terjadi setelah pembuangan ke-9