Membuang Air Dari Ember
Mula-mula Andri mempunyai air seember penuh.
Pada pembuangan pertama, Andri membuang \( \dfrac{1}{2} \) air yang ada di ember.
Pada pembuangan kedua, Andri membuang \( \dfrac{1}{3} \) air yang tersisa.
Pada pembuangan ketiga, Andri membuang \( \dfrac{1}{4} \) air yang tersisa.
Pada pembuangan keempat, Andri membuang \( \dfrac{1}{5} \) air yang tersisa.
Berapa kali pembuangan diperlukan agar sisa air di dalam ember tepat \( \dfrac{1}{10} \) dari volume air mula-mula?
jawaban
\( 9 \) kali
penjelasan
Pembuangan 1:
Air yang terbuang \( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{2} \)
Air yang tersisa \( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \)
Pembuangan 2:
Air yang terbuang \( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \)
Air yang tersisa \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \)
Pembuangan 3:
Air yang terbuang \( \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12} \)
Air yang tersisa \( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{4} \)
Pembuangan 4:
Air yang terbuang \( \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{20} \)
Air yang tersisa \( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{5} \)
Hipotesa:
Dari sini sebetulnya sudah bisa dibuat hipotesa bahwa setelah pembuangan ke-\( n \) air yang tersisa adalah \( \dfrac{1}{n + 1} \)
Jika hipotesa ini benar, maka sisa air \( \dfrac{1}{10} \) akan terjadi setelah pembuangan ke-\( 9 \)
Pembuktian hipotesa akan dilakukan menggunakan induksi matematika.
Langkah 1:
Pada kasus \( n = 1 \), memang betul air yang tersisa adalah \( \dfrac{1}{2} \)
Langkah 2:
Asumsikan benar untuk \( n = k \) dan diperoleh sisa air setelah pembuangan ke-\( k \) adalah \( \dfrac{1}{k + 1} \)
Langkah 3:
Sekarang, buktikan benar untuk \( n = k + 1 \)
Jika hipotesa ini benar, maka sisa air setelah pembuangan \( k + 1 \) adalah \( \dfrac{1}{k + 2} \)
Pada pembuangan \( k + 1 \), banyaknya air yang dibuang oleh Andri adalah \( \dfrac{1}{k + 2} \) dari air yang tersisa.
Karena air yang tersisa pada pembuangan ke-k adalah \( \dfrac{1}{k + 1} \)
Maka banyaknya air yang dibuang oleh Andri pada pembuangan \( k + 1 \) adalah \( \dfrac{1}{(k + 2)} \cdot \dfrac{1}{(k + 1)} \)
Sisa air setelah pembuangan \( k + 1 \) adalah \( \dfrac{1}{(k + 1)} - \dfrac{1}{(k + 2)} \cdot \dfrac{1}{(k + 1)} = \dfrac{1}{(k + 2)} \)
Jadi hipotesa di awal terbukti benar. Dengan demikian sisa air \( \dfrac{1}{10} \) akan terjadi setelah pembuangan ke-\( 9 \)