Fungsi Akar (1)

Fungsi akar selalu mengembalikan nilai tidak negatif

Sebetulnya ini bukan teorema. Tetapi, karena sangat sering terjadi kesalahpahaman dalam topik ini, rasanya perlu diberikan halaman khusus untuk membahas hal ini dan mudah-mudahan kesalahpahaman bisa dihentikan.

Kesalahpahaman

Contoh kesalahpahaman yang sering terlihat:

\( \begin{align*} \sqrt{25} &= \pm 5 \end{align*} \)

Ada siswa dan (mungkin) tenaga pengajar yang beranggapan bahwa \( \sqrt{25} \) mempunyai dua buah nilai, yaitu \( 5 \) dan \( -5 \). Oleh karena itu, mereka menuliskan \( \sqrt{25} = \pm 5 \).

Ini salah.

\( \sqrt{25} \) hanya mempunyai satu nilai, yaitu \( 5 \).

Berikut akan dijelaskan kenapa \( \sqrt{25} = \pm 5 \) salah.

Kehidupan sehari-hari

Misalkan Ronal punya sebuah kalkulator dan kalkulatornya mempunyai dua nilai untuk \( \sqrt{25} \). Sebelum makan siang kalkulatornya mengeluarkan nilai \( -5 \) dan setelah makan siang kalkulatornya mengeluarkan nilai \( 5 \). Tidakkah ini membingungkan?

Misalkan Andri dan Yudhi punya komputer. Komputer Andri mengeluarkan nilai \( -5 \) sementara komputer Yudhi mengeluarkan nilai \( 5 \). Bukankah ini bisa menyebabkan sengketa?

Misalkan Maikel punya komputer yang lebih canggih. Komputer Maikel bisa mengeluarkan \( -5 \) dan \( 5 \) secara serentak. Nilai mana yang akan dipilih Maikel? Tentu saja Maikel akan memilih nilai yang lebih menguntungkan. Jika \( -5 \) lebih menguntungkan, Maikel akan memilihnya. Sebaliknya, jika \( 5 \) lebih menguntungkan, Maikel akan memilih \( 5 \).

Dari contoh-contoh kasus di atas, sebetulnya sudah bisa disimpulkan bahwa \( \sqrt{25} = \pm 5 \) akan menyebabkan hal-hal aneh (absurd) dan kontradiktif. Secara logis, sebetulnya ide bahwa \( \sqrt{25} = \pm 5 \) sudah bisa ditolak. Reductio ad absurdum.

Fungsi akar

Di dalam matematika, simbol √ sebetulnya mewakili sebuah fungsi, yaitu fungsi akar. Dan, semua fungsi di matematika hanya mengembalikan satu nilai. Termasuk fungsi akar.

Memang betul bahwa \( {(-5)}^2 \) dan \( {5}^2 \) keduanya menghasilkan \( 25 \). Tetapi, karena fungsi akar hanya boleh mengembalikan satu nilai, maka pilihan harus dibuat. Dan pilihan yang diambil adalah nilai yang tidak negatif.

Secara formal, \( \sqrt{x^2} \) didefinisikan sebagai fungsi yang mengembalikan nilai tidak negatif \( x \).

\( \sqrt{x^2} = x \) dimana \( x \ge 0 \) dan \( x \in \mathbb{R} \)

Karena \( x \ge 0 \) maka definisi di atas ekuivalen dengan definisi ini

\( \sqrt{x^2} = \lvert x \rvert \) dimana \( x \in \mathbb{R} \)

Dengan adanya definisi ini, maka semua kalkulator dan komputer di dunia akan mengeluarkan nilai yang sama. Kapanpun dan dimanapun. Tidak ada lagi kebingungan dan sengketa.

Nilai tidak negatif

Kenapa definisi fungsi akar memilih nilai yang tidak negatif? Kenapa bukan nilai yang negatif?

Ada banyak alasan. Beberapa di antaranya adalah:

Pertama, nilai tidak negatif lebih natural. Umat manusia lebih dulu mengenal bilangan positif dan nol ketimbang nilai negatif.

Kedua, geometri. Hampir semua nilai yang dipakai di geometri adalah nilai positif dan nol.

Asal muasal kesalahpahaman

Apa yang menyebabkan kesalahpahaman ini? Kenapa ada siswa dan (mungkin) pengajar yang beranggapan bahwa \( \sqrt{25} \) mempunyai dua nilai?

Sulit dipastikan darimana datangnya kesalahpahaman ini. Seandainya boleh menebak, mungkin tebakan yang paling masuk akal adalah dari persamaan di bawah ini.

\( \begin{align*} x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \end{align*} \)

Kalau dilihat dari hasil akhirnya, memang jawaban akhir dari persamaan di atas betul. Tetapi, apakah cara penyelesaiannya benar?

Berikut disajikan beberapa cara penyelesaian yang lengkap:

Pemfaktoran

\( \begin{align*} x^2 &= 25 \\ x^2 - 25 &= 0 \\ (x + 5) \cdot (x - 5) &= 0 \\ x_1 &= -5 \\ x_2 &= 5 \end{align*} \)

Dari persamaan di atas, bisa dilihat bahwa nilai \( -5 \) dan \( 5 \) diperoleh karena dua nilai inilah yang memenuhi persamaan \( (x + 5) \cdot (x - 5) = 0 \)

Nilai mutlak

\( \begin{align*} x^2 &= 25 \\ \sqrt{x^2} &= \sqrt{25} \\ \lvert x \rvert &= 5 \\ x_1 &= -5 \\ x_2 &= 5 \end{align*} \)

Dari persamaan di atas, bisa dilihat bahwa nilai \( -5 \) dan \( 5 \) diperoleh karena dua nilai inilah yang memenuhi persamaan \( \lvert x \rvert = 5 \)

Sebagai perbandingan, berikut akan disajikan cara penyelesaian yang salah dan akan ditunjukkan dimana letak kesalahannya.

\( \begin{align*} x^2 &= 25 \text{ ...... (1)} \\ \sqrt{x^2} &= \sqrt{25} \text{ ...... (2)} \\ x &= \pm 5 \text{ ...... (3)} \end{align*} \)

Dari persamaan (2) menuju (3) ada dua kesalahan:

Kesalahan pertama:
\( \begin{align*} \sqrt{x^2} = x \text{ ...... (salah)} \\ \sqrt{x^2} = \lvert x \rvert \text{ ...... (betul)} \end{align*} \)

Kesalahan kedua:
\( \begin{align*} \sqrt{25} = \pm 5 \text{ ...... (salah)} \\ \sqrt{25} = 5 \text{ ...... (betul)} \end{align*} \)

Mungkin kesalahpahaman terjadi karena hasil akhirnya betul walaupun cara penyelesaiannya salah. Tetapi, apapun penyebabnya, rasanya lebih penting untuk mulai memperbaiki kesalahpahaman ini: fungsi akar selalu mengembalikan nilai tidak negatif.