Koleksi Teorema

Rumus abc

Akar-akar dari persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ dimana $a\ne 0$ adalah $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Pembagian Euclid

Pada setiap pembagian bilangan bulat $a$ oleh bilangan bulat $b$ dimana $b\ne 0$, pasti ada tepat satu pasangan bilangan bulat $q$ dan $r$, dimana $q$ adalah hasil bagi (quotient) dan $r$ adalah sisa bagi (remainder), yang memenuhi $a=bq+r$ dan $0\le r<\mathrm{|b|}$

Algoritma Euclid

Pada setiap bilangan bulat $a$ dan $b$ dimana $b\ne 0$ yang memenuhi $a=bq+r$ dan $0\le r<\mathrm{|b|}$, dimana bilangan bulat $q$ adalah hasil bagi (quotient) dan bilangan bulat $r$ adalah sisa bagi (remainder), berlaku $\gcd (a,b)=\gcd (b,r)$

Pembagian Euclid Dalam Polinomial

Pada setiap pembagian polinomial $a\left(x\right)$ oleh polinomial $b\left(x\right)$, pasti ada tepat satu pasangan polinomial $q\left(x\right)$ dan $r\left(x\right)$, dimana $q\left(x\right)$ adalah polinomial hasil bagi (quotient) dan $r\left(x\right)$ adalah polinomial sisa bagi (remainder) yang memenuhi $a\left(x\right)=b\left(x\right)\cdot q\left(x\right)+r\left(x\right)$, dimana $\mathrm{deg}\left(r\right)<\mathrm{deg}\left(b\right)$ atau $r\left(x\right)=0$

Greatest Common Divisor

GCD dari dua buah bilangan bulat $a$ dan $b$, dimana setidaknya salah satunya tidak nol, adalah bilangan bulat positif terbesar $d$ yang habis membagi $a$ dan $b$

Sifat GCD (1)

$\gcd (a,0)=\mathrm{|a|}$ dimana $a\ne 0$ dan $a\in \mathbb{Z}$

Sifat GCD (2)

$\gcd (a,b)=\gcd (b,a)$ dimana $a,b\in \mathbb{Z}$

Sifat GCD (3)

$\gcd (a,b)=\gcd (\mathrm{|a|},\mathrm{|b|})$ dimana $a,b\in \mathbb{Z}$

Sifat GCD (4)

$\gcd (a,b)\ge 1$ dimana $a,b\in \mathbb{Z}$

Sifat GCD (5)

$\gcd (a,b)\le \min (\mathrm{|a|},\mathrm{|b|})$ dimana $a,b\ne 0$ dan $a,b\in \mathbb{Z}$

Sifat GCD (6)

$\gcd (a+kb,b)=\gcd (a,b)$ dimana $a,b,k\in \mathbb{Z}$

Sifat GCD (7)

$\gcd (a,b)=1$ jika dan hanya jika $\gcd (ab,a+b)=1$ dimana $a,b\in \mathbb{Z}$