Rumus abc

Akar-akar dari persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ dimana $a\ne 0$ adalah $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Teorema ini juga dikenal dengan nama rumus abc.

Dalam rumus abc, tanda plus-minus ($\pm$) menunjukkan ada dua nilai $x$ yang mungkin, yaitu:

$x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Perhatikan contoh-contoh pemakaiannya di bawah.

Contoh

Contoh 1

Dengan menggunakan rumus abc, carilah solusi dari persamaan $x^2-6x+8=0$

Koefisien dari persamaan kuadrat di atas adalah:
$a=1$
$b=\mathrm{-6}$
$c=8$

Substitusi koefisien-koefisien di atas ke dalam rumus abc:

$x={\displaystyle \frac{-\left(\mathrm{-6}\right)\pm \sqrt{{\left(\mathrm{-6}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2\cdot 1}}$

$x={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-32}}{2}}$

$x={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{4}}{2}}$

$x={\displaystyle \frac{6\pm 2}{2}}$

$x_1={\displaystyle \frac{6+2}{2}}=4$

$x_2={\displaystyle \frac{6-2}{2}}=2$

Jadi, solusi dari persamaan $x^2-6x+8=0$ adalah $x_1=4$ dan $x_2=2$

Contoh 2

Dengan menggunakan rumus abc, carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4x^2-9=0$

Koefisien dari persamaan kuadrat di atas adalah:
$a=4$
$b=0$
$c=\mathrm{-9}$

Substitusi koefisien-koefisien di atas ke dalam rumus abc:

$x={\displaystyle \frac{0\pm \sqrt{0^2-4\cdot 4\cdot \left(\mathrm{-9}\right)}}{2\cdot 4}}$

$x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{144}}{8}}$

$x=\pm {\displaystyle \frac{12}{8}}$

$x_1={\displaystyle \frac{12}{8}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

$x_2=-{\displaystyle \frac{12}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4x^2-9=0$ adalah $x_1={\displaystyle \frac{3}{2}}$ dan $x_2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Contoh 3

Dengan menggunakan rumus abc, carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $6x^2-x-2=0$

Koefisien dari persamaan kuadrat di atas adalah:
$a=6$
$b=\mathrm{-1}$
$c=\mathrm{-2}$

Substitusi koefisien-koefisien di atas ke dalam rumus abc:

$x={\displaystyle \frac{-\left(\mathrm{-1}\right)\pm \sqrt{{\left(\mathrm{-1}\right)}^2-4\cdot 6\cdot \left(\mathrm{-2}\right)}}{2\cdot 6}}$

$x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+48}}{12}}$

$x={\displaystyle \frac{1\pm 7}{12}}$

$x_1={\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$x_2=-{\displaystyle \frac{6}{12}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $6x^2-x-2=0$ adalah $x_1={\displaystyle \frac{2}{3}}$ dan $x_2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Bukti

Berikut disajikan bagaimana rumus abc diturunkan.

Teknik yang digunakan adalah mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna dan mengisolasi variabel $x$ di ruas kiri.

Ide utama dari teknik ini adalah mengubah persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ menjadi persamaan kuadrat yang bentuknya lebih sederhana seperti ${(x+k)}^2=s$ dimana ruas kiri adalah sebuah kuadrat sempurna dan variabel $x$ sudah terisolasi di ruas kiri, artinya tidak ada lagi variabel $x$ di ruas kanan.

$a{x}^2+bx+c=0$

Bagi kedua ruas dengan $a$. Pembagian ini sah karena $a\ne 0$

$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0$

Singkirkan ${\displaystyle \frac{c}{a}}$ ke ruas kanan.

$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

Karena ${\displaystyle \frac{b}{a}}=2\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)$ maka:

$x^2+2\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

Agar ruas kiri menjadi kuadrat sempurna, tambahkan kedua ruas dengan ${\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2$

$x^2+2\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)x+{\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2={\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Sekarang ruas kiri sudah menjadi kuadrat sempurna dan tidak ada lagi variabel $x$ di ruas kanan. Persamaan ini dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan akar.

$x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=\pm {\displaystyle \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}}$

$x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$