Rumus abc

Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah $a{x}^2+bx+c=0$ dimana $a\ne 0$

Akar-akar dari persamaan kuadrat dapat dicari dengan menggunakan rumus abc, yaitu:

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Tanda plus-minus ($\pm$) menunjukkan ada dua nilai $x$ yang mungkin, yaitu:

$x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Bukti

Berikut disajikan bagaimana rumus abc diturunkan.

Teknik yang digunakan adalah mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna dan mengisolasi variabel $x$ di ruas kiri.

Ide utama dari teknik ini adalah mengubah persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ menjadi persamaan kuadrat yang bentuknya lebih sederhana seperti ${(x+k)}^2=s$ dimana ruas kiri adalah sebuah kuadrat sempurna dan variabel $x$ sudah terisolasi di ruas kiri, artinya tidak ada lagi variabel $x$ di ruas kanan.

$a{x}^2+bx+c=0$

Bagi kedua ruas dengan $a$. Pembagian ini sah karena $a\ne 0$

$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0$

Singkirkan ${\displaystyle \frac{c}{a}}$ ke ruas kanan.

$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

Karena ${\displaystyle \frac{b}{a}}=2\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)$ maka:

$x^2+2\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

Agar ruas kiri menjadi kuadrat sempurna, tambahkan kedua ruas dengan ${\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2$

$x^2+2\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)x+{\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2={\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Sekarang ruas kiri sudah menjadi kuadrat sempurna dan tidak ada lagi variabel $x$ di ruas kanan. Persamaan ini dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan akar.

$x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=\pm {\displaystyle \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}}$

$x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$