Pembagian Euclid Dalam Polinomial

Konsep Pembagian Euclid juga berlaku di dalam polinomial.

Pada setiap pembagian polinomial $a\left(x\right)$ oleh polinomial $b\left(x\right)$, pasti ada tepat satu pasangan polinomial $q\left(x\right)$ dan $r\left(x\right)$, dimana $q\left(x\right)$ adalah polinomial hasil bagi (quotient) dan $r\left(x\right)$ adalah polinomial sisa bagi (remainder) yang memenuhi $a\left(x\right)=b\left(x\right)\cdot q\left(x\right)+r\left(x\right)$, dimana $\mathrm{deg}\left(r\right)<\mathrm{deg}\left(b\right)$ atau $r\left(x\right)=0$

Penjelasan

$\mathrm{deg}\left(a\right)$ adalah fungsi untuk menentukan derajat (degree) tertinggi dari polinomial $a\left(x\right)$

Sebagai contoh:
Jika $a\left(x\right)=x^2+x+1$ maka $\mathrm{deg}\left(a\right)=2$, maknanya $a\left(x\right)$ adalah polinomial derajat 2.
Jika $a\left(x\right)=x^3+5$ maka $\mathrm{deg}\left(a\right)=3$, maknanya $a\left(x\right)$ adalah polinomial derajat 3.
Dan seterusnya..

Hal yang harus diperhatikan di dalam teorema ini adalah sisa bagi $r\left(x\right)$.

Jika $r\left(x\right)=0$ artinya $a\left(x\right)$ habis dibagi oleh $b\left(x\right)$.

Jika $r\left(x\right)\ne 0$ maka derajat $r\left(x\right)$ harus lebih kecil dari $b\left(x\right)$. Jika masih belum lebih kecil dari derajat $b\left(x\right)$, artinya pembagian masih belum selesai.

Rekomendasi

Agar teorema ini dapat lebih mudah dipahami, pembaca diminta untuk memahami Pembagian Euclid yang biasa terlebih dahulu, yaitu Pembagian Euclid pada bilangan bulat.

Contoh

Contoh 1

Nyatakan pembagian $x^3+8$ oleh $x+2$ dalam Pembagian Euclid.

$x^3+8$
$=(x+2)x^2-2x^2+8$
$=(x+2)x^2+(x+2)(\mathrm{-2}x)+4x+8$
$=(x+2)x^2+(x+2)(\mathrm{-2}x)+(x+2)4$
$=(x+2)(x^2\mathrm{-}2x+4)+0$

Hasil bagi (quotient) $q\left(x\right)=x^2\mathrm{-}2x+4$
Sisa bagi (remainder) $r\left(x\right)=0$

Karena $r\left(x\right)=0$ berarti $x^3+8$ habis dibagi oleh $x+2$

Contoh 2

Nyatakan pembagian $x^4+3x^3+10$ oleh $x^2-x$ dalam Pembagian Euclid.

$x^4+3x^3+10$
$=(x^2-x)x^2+4x^3+10$
$=(x^2-x)x^2+(x^2-x)4x+4x^2+10$
$=(x^2-x)x^2+(x^2-x)4x+(x^2-x)4+4x+10$
$=(x^2-x)(x^2+4x+4)+4x+10$

Hasil bagi (quotient) $q\left(x\right)=x^2+4x+4$
Sisa bagi (remainder) $r\left(x\right)=4x+10$

Karena $\mathrm{deg}(4x+10)=1$ sementara $\mathrm{deg}(x^2-x)=2$ maka pembagian sudah selesai.

Bukti

Ada dua hal yang harus dibuktikan, yaitu ada dan tunggal.

Maksudnya "ada" adalah bukti existence, yaitu:
Pada setiap pembagian polinomial $a\left(x\right)$ oleh polinomial $b\left(x\right)$, pasti ada tepat satu pasangan polinomial $q\left(x\right)$ dan $r\left(x\right)$, dimana $q\left(x\right)$ adalah polinomial hasil bagi (quotient) dan $r\left(x\right)$ adalah polinomial sisa bagi (remainder) yang memenuhi $a\left(x\right)=b\left(x\right)\cdot q\left(x\right)+r\left(x\right)$, dimana $\mathrm{deg}\left(r\right)<\mathrm{deg}\left(b\right)$ atau $r\left(x\right)=0$

Maksudnya "tunggal" adalah bukti uniqeness, yaitu:
Pada setiap pembagian polinomial $a\left(x\right)$ oleh polinomial $b\left(x\right)$, pasti ada tepat satu pasangan polinomial $q\left(x\right)$ dan $r\left(x\right)$, dimana $q\left(x\right)$ adalah polinomial hasil bagi (quotient) dan $r\left(x\right)$ adalah polinomial sisa bagi (remainder) yang memenuhi $a\left(x\right)=b\left(x\right)\cdot q\left(x\right)+r\left(x\right)$, dimana $\mathrm{deg}\left(r\right)<\mathrm{deg}\left(b\right)$ atau $r\left(x\right)=0$

Bukti Ada

Sebetulnya proses pembagian ini tidak ada bedanya dengan proses pemfaktoran. Secara intuisi, karena prosesnya sama dengan pemfaktoran, pasti ada pasangan $q\left(x\right)$ dan $r\left(x\right)$ yang memenuhi. Pada prinsipnya, kalau masih ada $x$ yang berderajat sama atau lebih tinggi dari $b\left(\mathrm{x}\right)$, maka $x$ itu akan difaktorkan. Proses ini dilakukan terus menerus sampai semua $x$ sudah berderajat lebih rendah dari $b\left(\mathrm{x}\right)$ atau sampai tidak ada sisa bagi.

Bukti Tunggal

Pembuktian yang lebih penting adalah pembuktian tunggal. Mungkinkah ada lebih dari satu pasangan $q\left(x\right)$ dan $r\left(x\right)$ yang memenuhi?

Misalkan ada dua pasangan berbeda yang memenuhi, yaitu $q_1\left(x\right)$, $r_1\left(x\right)$ dan $q_2\left(x\right)$, $r_2\left(x\right)$

$a\left(x\right)=b\left(x\right)\cdot q_1\left(x\right)+r_1\left(x\right)$
$a\left(x\right)=b\left(x\right)\cdot q_2\left(x\right)+r_2\left(x\right)$
$b\left(x\right)\cdot \left[q_1\right(x)-q_2(x\left)\right]=r_2\left(x\right)-r_1\left(x\right)$

Ruas kiri

Perhatikan ekspresi $q_1\left(x\right)-q_2\left(x\right)$

Kalau $q_1\left(x\right)$ tidak sama dengan $q_2\left(x\right)$ maka $q_1\left(x\right)-q_2\left(x\right)\ne 0$

Karena $q_1\left(x\right)-q_2\left(x\right)\ne 0$ maka ekspresi $b\left(x\right)\cdot \left[q_1\right(x)-q_2(x\left)\right]$ sekurang-kurangnya berderajat sama dengan $b\left(x\right)$

Ruas kanan

Karena $r_1\left(x\right)$ dan $r_2\left(x\right)$ keduanya berderajat lebih rendah dari $b\left(x\right)$ maka ekspresi $r_2\left(x\right)-r_1\left(x\right)$ pasti berderajat lebih rendah dari $b\left(x\right)$

Kesimpulan

Karena ruas kiri dan kanan mempunyai derajat polinomial yang berbeda, maka terjadi kontradiksi. Artinya asumsi di awal yang mengatakan "ada dua pasangan berbeda yang memenuhi" adalah salah. Dengan demikian, pasti hanya ada tepat satu pasangan $q\left(x\right)$ dan $r\left(x\right)$ yang memenuhi.