Hendra Jaya Napitupulu | Sifat GCD (3)

Sifat GCD (3)

Jika setidaknya salah satunya tidak $0$ , GCD dari dua buah bilangan bulat $a$ dan $b$ sama dengan GCD dari $|a|$ dan $|b|$

$\gcd (a, b) = \gcd (|a|, |b|)$ dimana $a, b \in ℤ$

Sifat ini adalah sifat yang lebih umum (general) dari sifat GCD yang sudah dibahas sebelumnya pada corollary pertama.

Contoh

Contoh 1

Carilah faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $5$ dan $−15$ .

Dengan menggunakan teorema di atas
$\gcd (5, −15) = \gcd (5, 15)$
$\gcd (5, −15) = 5$

Contoh 2

Carilah faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $−20$ dan $−16$ .

Dengan menggunakan teorema di atas
$\gcd (−20, −16) = \gcd (20, 16)$
$\gcd (−20, −16) = 4$

Contoh 3

Carilah faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $−9$ dan $18$ .

Dengan menggunakan teorema di atas
$\gcd (−9, 18) = \gcd (9, 18)$
$\gcd (−9, 18) = 9$

Contoh 4

Bandingkanlah $\gcd (−10, −5)$ dengan $\gcd (10, 5)$

Dengan menggunakan teorema di atas
$\gcd (−10, −5) = \gcd (10, 5)$
$\gcd (−10, −5) = 5$

Jadi, $\gcd (−10, −5) = \gcd (10, 5) = 5$

Bukti

Pembuktian akan dibagi ke dua kasus:

Salah satu dari $a$ atau $b$ bernilai $0$
Kedua bilangan, $a$ dan $b$ , tidak $0$

Kasus salah satunya 0

Tanpa menghilangkan sifat umum (without loss of generality), katakanlah $a = 0$

Dengan menggunakan sifat-sifat yang sudah dibuktikan sebelumnya:

$\gcd (0, b) = \gcd (b, 0)$
$\gcd (0, b) = \gcd (|b|, 0)$
$\gcd (0, b) = \gcd (0, |b|)$

Jadi, untuk kasus salah satu dari $a$ atau $b$ bernilai $0$ , sudah terbukti.

Kasus keduanya tidak 0

Misalkan $D$ adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang habis membagi $a$ dan $b$ :

$D = {d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}}$

Karena semua anggota himpunan $D$ adalah faktor persekutuan dari $a$ dan $b$ , maka semua anggota himpunan $D$ pasti habis membagi $a$ dan $b$ .

Karena semua anggota himpunan $D$ habis membagi $a$ dan $b$ , maka semua anggota himpunan $D$ pasti juga habis membagi $|a|$ dan $|b|$

Artinya, himpunan $D$ adalah himpunan semua faktor-faktor persekutuan dari $|a|$ dan $|b|$ juga.

Karena faktor-faktor persekutuan $a$ dan $b$ sama dengan faktor-faktor persekutuan $|a|$ dan $|b|$ , maka faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $a$ dan $b$ pun pasti sama dengan faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $|a|$ dan $|b|$ .