Sifat GCD (3)

Jika setidaknya salah satunya tidak $0$, GCD dari dua buah bilangan bulat $a$ dan $b$ sama dengan GCD dari $\mathrm{|a|}$ dan $\mathrm{|b|}$

$\gcd (a,b)=\gcd (\mathrm{|a|},\mathrm{|b|})$ dimana $a,b\in \mathbb{Z}$

Sifat di atas adalah sifat yang lebih umum (general) dari sifat GCD sebelumnya.

Contoh

Contoh 1

Carilah faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $5$ dan $\mathrm{-15}$.

Dengan menggunakan teorema di atas
$\gcd (5,\mathrm{-15})=\gcd (5,15)$
$\gcd (5,\mathrm{-15})=5$

Contoh 2

Carilah faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $\mathrm{-20}$ dan $\mathrm{-16}$.

Dengan menggunakan teorema di atas
$\gcd (\mathrm{-20},\mathrm{-16})=\gcd (20,16)$
$\gcd (\mathrm{-20},\mathrm{-16})=4$

Contoh 3

Carilah faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $\mathrm{-9}$ dan $18$.

Dengan menggunakan teorema di atas
$\gcd (\mathrm{-9},18)=\gcd (9,18)$
$\gcd (\mathrm{-9},18)=9$

Bukti

Pembuktian akan dibagi ke dua kasus:

1. Salah satu dari $a$ atau $b$ bernilai $0$
2. Kedua bilangan, $a$ dan $b$, tidak $0$

Kasus salah satunya 0

Tanpa menghilangkan sifat umum (without loss of generality), katakanlah $a=0$

Dengan menggunakan sifat-sifat yang sudah dibuktikan sebelumnya:

$\gcd (0,b)=\gcd (b,0)$
$\gcd (0,b)=\gcd (\mathrm{|b|},0)$
$\gcd (0,b)=\gcd (0,\mathrm{|b|})$

Jadi, untuk kasus salah satu dari $a$ atau $b$ bernilai $0$, sudah terbukti.

Kasus keduanya tidak 0

Misalkan $D$ adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang habis membagi $a$ dan $b$:

$D=\{d_1,d_2,d_3,\dots ,d_n\}$

Karena semua anggota himpunan $D$ adalah faktor persekutuan dari $a$ dan $b$, maka semua anggota himpunan $D$ pasti habis membagi $a$ dan $b$.

Karena semua anggota himpunan $D$ habis membagi $a$ dan $b$, maka semua anggota himpunan $D$ pasti juga habis membagi $\mathrm{|a|}$ dan $\mathrm{|b|}$

Artinya, himpunan $D$ adalah himpunan semua faktor-faktor persekutuan dari $\mathrm{|a|}$ dan $\mathrm{|b|}$ juga.

Karena faktor-faktor persekutuan $a$ dan $b$ sama dengan faktor-faktor persekutuan $\mathrm{|a|}$ dan $\mathrm{|b|}$, maka faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $a$ dan $b$ pun pasti sama dengan faktor persekutuan terbesar (GCD) dari $\mathrm{|a|}$ dan $\mathrm{|b|}$.