Membedakan Permutasi dan Kombinasi

Ada tiga perbedaan antara permutasi dan kombinasi yang perlu untuk dipahami baik-baik. Yang paling perlu dipahami adalah perbedaan yang pertama. Perbedaan yang kedua dan ketiga hanyalah konsekuensi dari perbedaan yang pertama.

1. Permutasi peduli terhadap urutan, kombinasi tidak
2. Jumlah kombinasi tidak lebih banyak dari permutasi
3. Rumusnya berbeda

Permutasi Peduli Terhadap Urutan, Kombinasi Tidak

Jika berhadapan pada satu soal kombinatorik dan tidak yakin apakah ini soal permutasi atau soal kombinasi, maka gunakan pertanyaan:
Apakah {A, B} bermakna sama dengan {B, A}?

Jika {A, B} berbeda maknanya dengan {B, A}, maka ini adalah soal permutasi.
Jika {A, B} bermakna sama dengan {B, A}, maka ini adalah soal kombinasi.

Agar lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh di bawah.

Catur

Di dunia catur, jika nama seseorang disebut terlebih dahulu, maka orang tersebut akan memainkan buah putih.

"Magnus Carlsen vs Hikaru Nakamura" berarti Magnus Carlsen memainkan buah putih dan Hikaru Nakamura memainkan buah hitam. Kebalikannya "Hikaru Nakamura vs Magnus Carlsen" berarti Hikaru Nakamura memainkan buah putih dan Magnus Carlsen memainkan buah hitam.

Dengan demikian, karena urutan penting, maka ada dua permutasi pertandingan yang mungkin:

1. Magnus Carlsen (putih) vs Hikaru Nakamura (hitam)
2. Hikaru Nakamura (putih) vs Magnus Carlsen (hitam)

Urutan menjadi penting di dunia catur karena setiap pemain memainkan peranan yang berbeda: ada yang memainkan bidak putih dan ada yang memainkan bidak hitam.

Pemilihan Ketua Kelas dan Wakilnya

Andri, Ronal dan Yudhi mencalonkan diri di pemilihan ketua kelas. Kandidat yang paling banyak suaranya otomatis menjadi ketua kelas dan runner-up otomatis menjadi wakil ketua kelas.

Ada enam permutasi yang mungkin:

1. Andri ketua, Ronal wakil
2. Andri ketua, Yudhi wakil
3. Ronal ketua, Andri wakil
4. Ronal ketua, Yudhi wakil
5. Yudhi ketua, Andri wakil
6. Yudhi ketua, Ronal wakil

Perhatikan disini, urutan menjadi penting karena ketua kelas selalu disebut terlebih dahulu. Lebih jauh lagi, ada perbedaan peranan antara ketua kelas dan wakil ketua kelas. Dengan demikian, ada enam permutasi ketua kelas/wakil ketua kelas yang mungkin.

Pasangan Ganda di Bulutangkis

Di dunia bulutangkis, tidak ada peranan yang membedakan antara dua orang pemain ganda. Kedua pemain bebas bergerak kemana saja silih berganti.

Nama pasangan "Ricky/Rexy" memiliki makna yang sama dengan "Rexy/Ricky". Dengan demikian, karena urutan tidak penting, nama pasangan "Ricky/Rexy" sama saja dengan "Rexy/Ricky" dan hanya dihitung sebagai satu kombinasi pasangan.

Jabat Tangan

Ada tiga sekawan yang sudah lama tidak berjumpa: Andri, Ronal dan Yudhi. Karena sudah lama tidak berjumpa, mereka saling berjabat tangan. Ada tiga kombinasi jabat tangan yang mungkin: "Andri - Ronal", "Andri - Yudhi" dan "Ronal - Yudhi".

Perhatikan bahwa:

1. "Andri - Ronal" sama saja dengan "Ronal - Andri"
2. "Andri - Yudhi" sama saja dengan "Yudhi - Andri"
3. "Ronal - Yudhi" sama saja dengan "Yudhi - Ronal"

Karena urutan tidak penting dan tidak ada perbedaan peran, maka hanya ada tiga kombinasi jabat tangan yang mungkin.

Password

Password "ABC" berbeda dengan "BCA". Hal ini sangat jelas. Pada password, karena urutan penting, maka penyusunan huruf pada password adalah persoalan permutasi.

Jika hanya boleh menggunakan huruf "A", "B" dan "C", maka ada enam permutasi password yang mungkin: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA.

Memilih Dua Bola Bilyar Berjumlah 8

Di bilyar, ada sembilan bola bernomor 1 sampai 9.

Jika Maikel ingin mengambil dua buah bola yang, kalau nomornya dijumlahkan, totalnya 8, maka ada tiga kombinasi yang mungkin: {1, 7}, {2, 6}, {3, 5}.

Karena urutan pengambilan tidak penting, maka ini adalah persoalan kombinasi.

Jumlah Kombinasi Tidak Lebih Banyak Dari Permutasi

Di dalam permutasi, karena {A, B} berbeda dengan {B, A}, maka mereka dihitung sebagai dua permutasi. Sebaliknya, di dalam kombinasi, karena {A, B} sama dengan {B, A}, maka mereka dihitung sebagai satu kombinasi.

Sebetulnya, dari sini saja, sudah cukup jelas kalau jumlah kombinasi tidak pernah lebih banyak dari permutasi. Walaupun demikian, di bawah diberikan dua contoh untuk memperjelas konsep ini.

Isi Ulang Air Gallon

Tiga sekawan Andri, Ronal dan Yudhi ingin isi ulang air gallon. Diperlukan dua orang untuk isi ulang air gallon: satu orang bawa motor dan satu orang lagi, yang dibonceng, pegang gallon. Ada enam permutasi formasi yang mungkin:

1. Andri bawa motor, Ronal pegang gallon
2. Andri bawa motor, Yudhi pegang gallon
3. Ronal bawa motor, Andri pegang gallon
4. Ronal bawa motor, Yudhi pegang gallon
5. Yudhi bawa motor, Andri pegang gallon
6. Yudhi bawa motor, Ronal pegang gallon

Liga Bulutangkis Tiga Sekawan

Tiga sekawan Andri, Ronal dan Yudhi ingin mencari tahu siapa dari mereka yang paling hebat bermain bulutangkis. Untuk mencari tahu, mereka mengadakan liga kecil-kecilan. Ada tiga kombinasi pertandingan liga:

1. Andri vs Ronal
2. Andri vs Yudhi
3. Ronal vs Yudhi

Kedua contoh di atas mempunyai karakter yang sama: Ada tiga orang (Andri, Ronal dan Yudhi) yang bisa dipilih dan perlu dipilih dua orang untuk melakukan suatu aktivitas. Pada contoh permutasi ada enam pilihan permutasi, sementara, pada contoh kombinasi hanya ada tiga pilihan kombinasi. Untuk $n$ dan $k$ yang sama, jumlah kombinasi tidak lebih banyak dari jumlah permutasi.

Mungkinkah jumlah kombinasi sama dengan jumlah permutasi? Mungkin. Jumlah kombinasi akan sama dengan jumlah permutasi pada kasus dimana tidak ada yang bisa dipilih. Yaitu, jika jumlah yang perlu dipilih 0.

Rumus

Rumus permutasi untuk memilih $k$ elemen dari $n$ elemen adalah:

$P(n,k)={\displaystyle \frac{n!}{\left(n-k\right)!}}$

Rumus kombinasi untuk memilih $k$ elemen dari $n$ elemen adalah:

$C(n,k)={\displaystyle \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}}$

Perhatikan bahwa penyebut pada rumus kombinasi lebih banyak. Karena lebih banyak pembaginya, maka, jumlah kombinasi $C(n,k)$ tidak lebih banyak dari jumlah permutasi $P(n,k)$ untuk $n$ dan $k$ yang sama.

Informasi ini berguna untuk mengingat rumus. Seandainya lupa yang mana rumus permutasi dan yang mana rumus kombinasi, ingatlah rumus kombinasi lebih banyak pembaginya.