Prinsip Terurut Rapi

Di dalam bahasa Inggris, prinsip terurut rapi dikenal dengan nama well-ordering principle. Prinsip ini juga dikenal dengan nama aksioma elemen terkecil atau dalam bahasa Inggris least-element axiom.

Setiap himpunan tidak kosong yang terdiri dari bilangan bulat non-negatif pasti mempunyai elemen terkecil.

Aksioma ini sangat jelas dan sederhana.

Contoh Sederhana

Contoh 1.1

Himpunan \( W = \{ 0, 1, 2, 3, 4\} \)
Elemen terkecil dari himpunan \( W \) adalah \( 0 \).

Contoh 1.2

Himpunan \( E = \{ 2, 4, 6, 8, 10\} \)
Elemen terkecil dari himpunan \( E \) adalah \( 2 \).

Contoh 1.3

Himpunan \( T = \{ 3, 6, 9, 12, 15, \cdots \} \)
Elemen terkecil dari himpunan \( T \) adalah \( 3 \).

Contoh 1.4

Himpunan \( \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, \cdots \} \)
Elemen terkecil dari himpunan \( \mathbb{N} \) adalah \( 1 \).

Contoh 1.5

Himpunan \( \mathbb{W} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, \cdots \} \)
Elemen terkecil dari himpunan \( \mathbb{W} \) adalah \( 0 \).

Contoh Lanjut

Contoh 2.1

Suatu bilangan riil \( x \) dikatakan bilangan rasional jika ada bilangan bulat \( a \) dan \( b \) dimana \( b \ne 0 \) sedemikan sehingga \( x = \dfrac{a}{b} \)

Buktikan \( \sqrt{2} \) bukan bilangan rasional.

Bukti

Pembuktian akan menggunakan teknik kontradiksi.

Asumsikan \( \sqrt{2} \) adalah bilangan rasional. Karena \( \sqrt{2} \) adalah bilangan rasional, maka pasti ada bilangan bulat positif \( a \) dan \( b \) sedemikian sehingga \( \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \)

Karena \( a \) adalah bilangan bulat positif maka pasti \( b\sqrt{2} \) juga bilangan bulat positif.

Himpunan tidak kosong

Misalkan \( S \) adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang, jika dikalikan dengan \( \sqrt{2} \), menghasilkan bilangan bulat positif juga.

Kalimat di atas sangat abstrak dan agak sukar dipahami. Agar lebih mudah dipahami, perhatikan pemisalan ini. Misalkan \( \sqrt{2} = \dfrac{70}{50} \), tentu saja \( 50\sqrt{2} = 70 \). Karena \( 50 \) dikalikan dengan \( \sqrt{2} \) menghasilkan bilangan bulat positif, maka \( 50 \) adalah anggota himpunan \( S \)

Tetapi masih banyak lagi bilangan bulat positif lain yang, jika dikalikan dengan \( \sqrt{2} \), menghasilkan bilangan bulat positif. Misalnya \( 5 \), \( 25 \), \( 100 \), \( 200 \) dan sebagainya.

Kembali ke abstraksi. Perhatikan bahwa himpunan \( S \) pasti tidak kosong karena setidak-tidaknya \( b\sqrt{2} \) pasti ada di dalam himpunan \( S \).

Prinsip terurut rapi

Karena \( S \) pasti tidak kosong dan semua anggotanya adalah bilangan bulat positif, maka, menurut prinsip terurut rapi (well-ordering principle), himpunan \( S \) pasti punya anggota himpunan terkecil. Katakanlah anggota himpunan terkecil dari \( S \) adalah \( b_0 \). Artinya, tidak akan ada lagi bilangan bulat positif yang lebih kecil dari \( b_0 \) yang, jika dikalikan dengan \( \sqrt{2} \), menghasilkan bilangan bulat positif.

Tujuan pembuktian

Membuktikan ada bilangan bulat positif yang lebih kecil dari \( b_0 \) yang, jika dikalikan dengan \( \sqrt{2} \), menghasilkan bilangan bulat positif. Jika berhasil dibuktikan, maka akan tercipta kontradiksi. Artinya, asumsi awal bahwa \( \sqrt{2} \) adalah bilangan rasional terbukti salah.

Aljabar ketaksamaan

\( \begin{alignat}{2} 1 &\lt \sqrt{2} &&\lt 2 \\ \\ b_0 &\lt b_0\sqrt{2} &&\lt 2b_0 \\ \\ b_0 &\lt a_0 &&\lt 2b_0 \\ \\ 0 &\lt a_0 - b_0 &&\lt b_0 \end{alignat} \)

Dari aljabar ketaksamaan di atas, dua informasi berhasil ditemukan:

• \( a_0 - b_0 \) adalah bilangan positif
• \( a_0 - b_0 \) lebih kecil dari \( b_0 \)

Selanjutnya, karena \( a_0 \) dan \( b_0 \) adalah bilangan bulat, maka \( a_0 - b_0 \) adalah bilangan bulat juga. Jika digabungkan dengan temuan di atas, maka \( a_0 - b_0 \) adalah bilangan bulat positif.

Anggota himpunan S

Apakah \( a_0 - b_0 \) adalah anggota himpunan \( S \)?

Untuk membuktikannya, harus ditunjukkan bahwa \( a_0 - b_0 \) jika dikalikan dengan \( \sqrt{2} \), menghasilkan bilangan bulat positif.

Karena di atas sudah dibuktikan bahwa \( a_0 - b_0 \) adalah bilangan positif, maka \( (a_0 - b_0)\sqrt{2} \) pasti bilangan positif juga.

Apakah \( (a_0 - b_0)\sqrt{2} \) adalah bilangan bulat?

\( \begin{align*} (a_0 - b_0)\sqrt{2} &= a_0\sqrt{2} - b_0\sqrt{2} \\ \\ (a_0 - b_0)\sqrt{2} &= b_0\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - a_0 \\ \\ (a_0 - b_0)\sqrt{2} &= 2b_0 - a_0 \end{align*} \)

Karena \( a_0 \) dan \( b_0 \) keduanya adalah bilangan bulat, maka \( 2b_0 - a_0 \) adalah bilangan bulat juga.

Jadi, memang benar \( (a_0 - b_0)\sqrt{2} \) adalah bilangan bulat positif. Akibatnya \( a_0 - b_0 \) pasti anggota himpunan \( S \).

Kontradiksi

Sudah terbukti bahwa \( a_0 - b_0 \) adalah anggota himpunan \( S \) dan \( a_0 - b_0 \) lebih kecil dari \( b_0 \)

Artinya, \( b_0 \) bukan anggota himpunan terkecil. Terjadi kontradiksi. Dengan demikian, asumsi bahwa \( \sqrt{2} \) adalah bilangan rasional salah. Pernyataan yang benar adalah \( \sqrt{2} \) bukan bilangan rasional.