Teorema Ketaksamaan Keterbagian
Di dalam bahasa Inggris, teorema ketaksamaan keterbagian dikenal sebagai divisibility inequality theorem. Karena teorema ini cukup sering dipakai di dalam mengerjakan soal, rasanya perlu dibuat halaman khusus untuk membahasnya.
Jika \( b \ne 0 \) dan \( a \) habis membagi \( b \), maka \( \lvert a \rvert \le \lvert b \rvert \)
\( a \) dan \( b \) adalah bilangan bulat
Versi kontrapositif. Ekuivalen dengan pernyataan di atas.
Jika \( b \ne 0 \) dan \( \lvert a \rvert \gt \lvert b \rvert \) maka \( a \) tidak habis membagi \( b \)
\( a \) dan \( b \) adalah bilangan bulat
Versi praktis yang lebih mudah diingat untuk analisis.
Jika \( a \) habis membagi \( b \) maka \( \lvert a \rvert \le \lvert b \rvert \) atau \( b = 0 \)
\( a \) dan \( b \) adalah bilangan bulat
bukti
Karena ketiga pernyataan di atas adalah pernyataan yang ekuivalen, maka membuktikan salah satu sudah cukup untuk membuktikan ketiganya.
Pembuktian ini akan memberikan bukti untuk versi kontrapositif, yaitu:
Jika \( b \ne 0 \) dan \( \lvert a \rvert \gt \lvert b \rvert \) maka \( a \) tidak habis membagi \( b \)
Teknik pembuktian yang dipakai adalah teknik kontradiksi.
Asumsikan \( a \) habis membagi \( b \).
\( \begin{align*} b &= a \cdot k \\ \lvert b \rvert &= \lvert a \cdot k \rvert \\ \lvert b \rvert &= \lvert a \rvert \cdot \lvert k \rvert \end{align*} \)
Karena \( b \ne 0 \) maka \( |k| \gt 0 \)
Karena \( \lvert b \rvert \ne \lvert a \rvert \) maka \( |k| \gt 1 \)
Kemudian:
\(
\begin{align*}
\lvert b \rvert &= \lvert a \rvert \cdot \lvert k \rvert \\
\lvert b \rvert - \lvert a \rvert &= \lvert a \rvert \cdot \lvert k \rvert - \lvert a \rvert \\
\lvert b \rvert - \lvert a \rvert &= \lvert a \rvert \cdot (\lvert k \rvert - 1)
\end{align*}
\)
Karena \( |k| \gt 1 \) maka \( \lvert k \rvert - 1 \) pasti positif.
Berarti \( \lvert b \rvert - \lvert a \rvert \) juga positif.
\( \begin{align*} \lvert b \rvert - \lvert a \rvert &\gt 0 \\ \lvert b \rvert &\gt \lvert a \rvert \end{align*} \)
Terjadi kontradiksi. Berarti asumsi yang diambil salah. Pernyataan yang benar adalah \( a \) tidak habis membagi \( b \)
Contoh
Contoh 1
Carilah semua bilangan bulat \( n \) sedemikian sehingga \( n^2 + 2n + 2 \) habis membagi \( -2n - 18 \)
Secara umum ada dua kasus yang harus diperiksa
- Kasus \( -2n - 18 = 0 \)
- Kasus \( \lvert n^2 + 2n + 2 \rvert \le \lvert -2n - 18 \rvert \)
Kasus 1
\( \begin{align*} -2n - 18 &= 0 \\ n &= -9 \end{align*} \)
Jangan terburu-buru menyimpulkan bahwa \( n = -9 \) adalah solusi. Periksa dulu apakah \( n = -9 \) menyebabkan \( n^2 + 2n + 2 = 0 \) atau tidak.
\( \begin{align*} n^2 + 2n + 2 &= {(-9)}^2 + 2(-9) + 2 \\ &= 81 - 18 + 2 \\ &= 65 \end{align*} \)
Karena \( n = -9 \) tidak menyebabkan pembagian dengan \( 0 \), maka \( n = -9 \) adalah solusi.
Kasus 2
\( \lvert n^2 + 2n + 2 \rvert \le \lvert -2n - 18 \rvert \)
Mula-mula lakukan analisis terhadap \( n^2 + 2n + 2 \).
\( \begin{align*} n^2 + 2n + 2 &= (n^2 + 2n + 1) + 1 \\ &= {(n + 1)}^2 + 1 \end{align*} \)
Karena \( {(n + 1)}^2 \ge 0 \) untuk semua bilangan bulat \( n \), maka pasti \( n^2 + 2n + 2 \ge 0 \) untuk semua bilangan bulat \( n \).
Akibatnya:
\( \lvert n^2 + 2n + 2 \rvert = n^2 + 2n + 2 \)
Sekarang, lakukan analisis terhadap \( \lvert -2n - 18 \rvert \)
Dari definisi mutlak:
Jika \( -2n - 18 \ge 0 \) maka \( \lvert -2n - 18 \rvert = -2n - 18 \)
Jika \( -2n - 18 \lt 0 \) maka \( \lvert -2n - 18 \rvert = 2n + 18 \)
Kasus 2.1
\( \begin{align*} -2n - 18 &\ge 0 \\ -n - 9 &\ge 0 \\ -n &\ge 9 \\ n &\le -9 \end{align*} \)
Jadi, \( \lvert -2n - 18 \rvert = -2n - 18 \) terjadi pada rentang \( n \le -9 \)
Akibatnya:
\(
\begin{align*}
\lvert n^2 + 2n + 2 \rvert &\le \lvert -2n - 18 \rvert \\
n^2 + 2n + 2 &\le -2n - 18 \\
n^2 + 4n + 20 &\le 0 \\
(n^2 + 4n + 4) + 16 &\le 0 \\
{(n + 2)}^2 + 16 &\le 0
\end{align*}
\)
Karena \( {(n + 2)}^2 \ge 0 \) untuk semua bilangan bulat \( n \) maka \( {(n + 2)}^2 + 16 \ge 16 \) untuk semua bilangan bulat \( n \). Artinya, pada rentang \( n \le -9 \), tidak akan ada bilangan bulat \( n \) yang memenuhi ketaksamaan di atas.
Kasus 2.2
\( \begin{align*} -2n - 18 &\lt 0 \\ -n - 9 &\lt 0 \\ -n &\lt 9 \\ n &\gt -9 \end{align*} \)
Jadi, \( \lvert -2n - 18 \rvert = 2n + 18 \) terjadi pada rentang \( n \gt -9 \)
Akibatnya:
\(
\begin{align*}
\lvert n^2 + 2n + 2 \rvert &\le \lvert -2n - 18 \rvert \\
n^2 + 2n + 2 &\le 2n + 18 \\
n^2 - 16 &\le 0 \\
(n - 4)(n + 4) &\le 0
\end{align*}
\)
Ketaksamaan di atas hanya berlaku benar pada rentang \( -4 \le n \le 4 \)
Uji rentang
Setelah menguji satu persatu semua \( n \) pada rentang \( -4 \le n \le 4 \) ditemukan bahwa \( n^2 + 2n + 2 \) habis membagi \( -2n - 18 \) pada \( n = \{ -4, -2, -1, 0, 1, 4 \} \)
Kesimpulan
Setelah menggabungkan \( n = -9 \) dan \( n = \{ -4, -2, -1, 0, 1, 4 \} \) maka dapat disimpulkan bahwa semua \( n \) yang memenuhi adalah \( \{ -9, -4, -2, -1, 0, 1, 4 \} \)