Salah satu teknik untuk membuktikan keterbagian adalah dengan membuktikan keterbagian oleh faktor-faktornya.

Alih-alih membuktikan keterbagian \( (n^4 - n^2) \) oleh 12, lebih mudah membuktikan keterbagian \( (n^4 - n^2) \) oleh 3 dan 4. Jika \( (n^4 - n^2) \) habis dibagi 3 dan 4, maka \( (n^4 - n^2) \) pasti habis dibagi 12.

Keterbagian oleh 3:

\( n^4 - n^2 \)
\( = n^2(n^2 - 1) \)
\( = n \cdot n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \)
\( = n \cdot \underbrace{(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)}_{3 \text{ bilangan bulat yang berurutan}} \)

Karena \( (n - 1) \), \( n \), \( (n + 1) \) adalah tiga bilangan bulat yang berurutan, maka salah satunya pasti habis dibagi 3. Dengan demikian, ekspresi \( (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \) pasti habis dibagi 3. Artinya, ekspresi \( n^4 - n^2 \) pasti habis dibagi 3.

Keterbagian oleh 4:

\( n^4 - n^2 \)
\( = n^2(n^2 - 1) \)
\( = \underbrace{(n - 1) \cdot n}_{2 \text{ bilangan bulat berurutan}} \cdot \underbrace{n \cdot (n + 1)}_{2 \text{ bilangan bulat berurutan}} \)

Karena \( (n - 1) \) dan \( n \) adalah dua bilangan bulat yang berurutan, maka salah satunya pasti habis dibagi 2. Dengan demikian, ekspresi \( (n - 1) \cdot n \) pasti habis dibagi 2.

Karena \( n \) dan \( (n + 1) \) adalah dua bilangan bulat yang berurutan, maka salah satunya pasti habis dibagi 2. Dengan demikian, ekspresi \( n \cdot (n + 1) \) pasti habis dibagi 2.

Karena ada dua ekspresi yang habis dibagi 2, maka keseluruhan ekspresi pasti habis dibagi 4.

Kesimpulan

Karena ekspresi \( n^4 - n^2 \) habis dibagi oleh 3 dan 4, maka \( n^4 - n^2 \) pasti habis dibagi 12.