Salah satu teknik untuk membuktikan keterbagian adalah dengan membuktikan keterbagian oleh faktor-faktornya.

Alih-alih membuktikan keterbagian $n^4-n^2$ oleh 12, lebih mudah membuktikan keterbagian $n^4-n^2$ oleh 3 dan 4. Jika $n^4-n^2$ habis dibagi 3 dan 4, maka $n^4-n^2$ pasti habis dibagi 12.

Keterbagian oleh 3:

$n^4-n^2$
$\iff n^2(n^2-1)$
$\iff n\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n+1)$
$\iff n\cdot \left[\right(n-1)\cdot n\cdot (n+1\left)\right]$

Perhatikan ekspresi $(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$ yang ada di dalam kurung siku.

Karena $(n-1)$, $n$, $(n+1)$ adalah tiga bilangan bulat yang berurutan, maka salah satunya pasti habis dibagi 3. Dengan demikian, ekspresi $(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$ pasti habis dibagi 3. Artinya, ekspresi $n^4-n^2$ pasti habis dibagi 3.

Secara formal:
$n^4-n^2$
$\iff n\cdot \left[\right(n-1)\cdot n\cdot (n+1\left)\right]$
$\iff n\cdot [3m]$
$\iff 3mn$

Keterbagian oleh 4:

$n^4-n^2$
$\iff n\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n+1)$
$\iff \left[\right(n-1)\cdot n]\cdot [n\cdot (n+1\left)\right]$

Perhatikan ekspresi $(n-1)\cdot n$ yang ada di dalam kurung siku pertama.

Karena $(n-1)$dan $n$ adalah dua bilangan bulat yang berurutan, maka salah satunya pasti habis dibagi 2. Dengan demikian, ekspresi $(n-1)\cdot n$ pasti habis dibagi 2.

Sekarang, perhatikan ekspresi $n\cdot (n+1)$ yang ada di dalam kurung siku kedua.

Karena $n$ dan $(n+1)$ adalah dua bilangan bulat yang berurutan, maka salah satunya pasti habis dibagi 2. Dengan demikian, ekspresi $n\cdot (n+1)$ pasti habis dibagi 2.

Karena kedua ekspresi yang berada di dalam kurung siku habis dibagi 2, maka keseluruhan ekspresi $\left[\right(n-1)\cdot n]\cdot [n\cdot (n+1\left)\right]$ pasti habis dibagi 4.

Secara formal:
$n^4-n^2$
$\iff \left[\right(n-1)\cdot n]\cdot [n\cdot (n+1\left)\right]$
$\iff [2p]\cdot [2q]$
$\iff 4pq$

Kesimpulan

Karena ekspresi $n^4-n^2$ habis dibagi oleh 3 dan 4, maka $n^4-n^2$ pasti habis dibagi 12.