\( 136 \)

Misalkan:

• \( V(n) \) adalah barisan yang berisikan nilai yang muncul pada kedua-dua barisan.
• Jarak antar suku pada barisan pertama adalah \( d_1 \) dan jarak antar suku pada barisan kedua adalah \( d_2 \).

Maka \( V(n) \) bisa dirumuskan sebagai berikut:
\( V(n) = V(1) + lcm(d_1, d_2) \cdot (n - 1) \) dimana \( n \in \mathbb{N} \)

\( V(1) \) adalah suku pertama pada barisan \( V(n) \)

Fungsi \( lcm(a, b) \) adalah fungsi yang mengembalikan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari bilangan bulat \( a \) dan \( b \). KPK didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh \( a \) dan \( b \). Di dalam Bahasa Inggris, KPK dikenal sebagai Least Common Multiple (LCM).

Pembahasan

Karena dari soal diketahui bahwa suku pertama adalah \( 1 \), dengan demikian \( V(1) = 1 \)

Sekarang akan dicari KPK dari \( d_1 \) dan \( d_2 \):

Rumus barisan pertama adalah:
\( T(n) = 1 + 3(n - 1) \) dimana \( n \in \mathbb{N} \)
Jarak antar suku adalah \( 3 \)

Rumus barisan kedua adalah:
\( U(n) = -4 + 5(n - 1) \) dimana \( n \in \mathbb{N} \)
Jarak antar suku adalah \( 5 \)

Karena KPK dari \( 3 \) dan \( 5 \) adalah \( 15 \), dengan demikian \( lcm(3, 5) = 15 \)

Sekarang, rumus untuk \( V(n) \) sudah lengkap, yaitu:
\( V(n) = 1 + 15(n - 1) \) dimana \( n \in \mathbb{N} \)

Suku kesepuluh pun sudah bisa dicari:
\( V(10) = 1 + 15 \cdot 9 = 136 \)

\( 2047 \)

Akan diberikan dua teknik untuk menyelesaikan soal ini.

Teknik 1

\( \begin{align*} total &= 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024 \\ 1 + total &= 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024 \\ &= 2 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024 \\ &= 4 + 4 + 8 + \cdots + 1024 \\ &= 8 + 8 + \cdots + 1024 \\ \cdots &\cdots \cdots \\ &= 1024 + 1024 \\ 1 + total &= 2048 \\ total &= 2047 \end{align*} \)

Teknik 2

\( \begin{align*} total &= 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024 \\ &= (1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024) \times 1 \\ &= (1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024) \times (2 - 1) \\ &= (2 + 4 + 8 + 16 + \cdots + 2048) - (1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024) \\ &= 2048 - 1 \\ &= 2047 \end{align*} \)

\( \dfrac{3}{55} \)

\( \dfrac{1}{35} + \dfrac{1}{63} + \dfrac{1}{99} \)

\( = \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dfrac{1}{7 \cdot 9} + \dfrac{1}{9 \cdot 11} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{5 \cdot 7} + \dfrac{2}{7 \cdot 9} + \dfrac{2}{9 \cdot 11} \right) \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{7 - 5}{5 \cdot 7} + \dfrac{9 - 7}{7 \cdot 9} + \dfrac{11 - 9}{9 \cdot 11} \right) \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{11} \right) \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{11} \right) \)

\( = \dfrac{6}{2 \cdot 5 \cdot 11} \)

\( = \dfrac{3}{55} \)

\( \dfrac{9}{52} \)

\( \dfrac{3}{28} + \dfrac{3}{70} + \dfrac{3}{130} \)

\( = \dfrac{3}{4 \cdot 7} + \dfrac{3}{7 \cdot 10} + \dfrac{3}{10 \cdot 13} \)

\( = \dfrac{7 - 4}{4 \cdot 7} + \dfrac{10 - 3}{7 \cdot 10} + \dfrac{13 - 10}{10 \cdot 13} \)

\( = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{13} \)

\( = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{13} \)

\( = \dfrac{9}{52} \)

\( \dfrac{1}{2} \)

\( \dfrac{7}{12} - \dfrac{9}{20} + \dfrac{11}{30} \)

\( = \dfrac{7}{3 \cdot 4} - \dfrac{9}{4 \cdot 5} + \dfrac{11}{5 \cdot 6} \)

\( = \dfrac{4 + 3}{3 \cdot 4} - \dfrac{5 + 4}{4 \cdot 5} + \dfrac{6 + 5}{5 \cdot 6} \)

\( = \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \right) - \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} \right) + \left( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \right) \)

\( = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \)

\( = \dfrac{1}{2} \)

\( \dfrac{5}{34} \)

\( \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{88} + \dfrac{1}{154} + \dfrac{1}{238} \)

\( = \dfrac{1}{2 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 8} + \dfrac{1}{8 \cdot 11} + \dfrac{1}{11 \cdot 14} + \dfrac{1}{14 \cdot 17} \)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{3}{2 \cdot 5} + \dfrac{3}{5 \cdot 8} + \dfrac{3}{8 \cdot 11} + \dfrac{3}{11 \cdot 14} + \dfrac{3}{14 \cdot 17} \right) \)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{5 - 2}{2 \cdot 5} + \dfrac{8 - 5}{5 \cdot 8} + \dfrac{11 - 8}{8 \cdot 11} + \dfrac{14 - 1}{11 \cdot 14} + \dfrac{17 - 14}{14 \cdot 17} \right) \)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{14} + \dfrac{1}{14} - \dfrac{1}{17} \right) \)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{17} \right) \)

\( = \dfrac{15}{3 \cdot 2 \cdot 17} \)

\( = \dfrac{5}{34} \)

\( 9 \)

Perhatikan teknik manipulasi di bawah ini.

Untuk \( n \in \mathbb{N} \) berlaku:

\( \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \)

\( = \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{-1} \)

\( = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)

Identitas ini akan digunakan untuk menjawab soal:

\( \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \)

\( = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{100} - \sqrt{99}) \)
\( = (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \cdots + \sqrt{100}) - (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{99}) \)
\( = \sqrt{100} - 1 \)
\( = 9 \)

\( \dfrac{1}{3} \)

\( \begin{align*} x &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{256} + \cdots \\\\ 4x &= 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{256} + \cdots \\\\ 4x &= 1 + x \\\\ x &= \dfrac{1}{3} \end{align*} \)

\( 6 \)

Misalkan:
\( a = n^{\frac{1}{3}} \)
\( b = {(n-1)}^{\frac{1}{3}} \)

Maka:
\( \dfrac{1}{ \sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n-1)} + \sqrt[3]{ {(n-1)}^2 } } \)

\( = \dfrac{1}{a^2 + ab + b^2} \)

\( = \dfrac{ (a - b) }{ (a - b)(a^2 + ab + b^2) } \)

\( = \dfrac{ a - b }{ a^3 - b^3 } \)

\( = \dfrac{ a - b }{ n - (n - 1) } \)

\( = a - b \)

\( = n^{\frac{1}{3}} - {(n-1)}^{\frac{1}{3}} \)

Sekarang

\( \displaystyle \sum \limits_{n = 1}^{216} { n^{\frac{1}{3}} - {(n-1)}^{\frac{1}{3}} } \)

\( = ( 1^\frac{1}{3} - 0^\frac{1}{3} ) + ( 2^\frac{1}{3} - 1^\frac{1}{3} ) + ( 3^\frac{1}{3} - 2^\frac{1}{3} ) + \cdots + ( {216}^\frac{1}{3} - {215}^\frac{1}{3} ) \)

\( = ( 1^\frac{1}{3} + 2^\frac{1}{3} + 3^\frac{1}{3} + \cdots + {216}^\frac{1}{3} ) - ( 0^\frac{1}{3} + 1^\frac{1}{3} + 2^\frac{1}{3} + \cdots + {215}^\frac{1}{3} ) \)

\( = {216}^\frac{1}{3} \)

\( = 6 \)

\( 2019045 \)

Di bawah ini diberikan beberapa cara untuk menjawab soal ini:

Cara 1: tanpa notasi sigma

\( \begin{align*} S &= 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + {2007}^2 - {2008}^2 + {2009}^2 \\\\ &= (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \cdots + ({2007}^2 - {2008}^2) + {2009}^2 \\\\ &= (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + \cdots + (2007 - 2008)(2007 + 2008) + {2009}^2 \\\\ &= -(1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 2007 + 2008) + {2009}^2 \\\\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot 2008 \cdot 2009 + {2009}^2 \\\\ &= 2019045 \end{align*} \)

Cara 2: dengan notasi sigma

\( \begin{align*} S &= 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + {2007}^2 - {2008}^2 + {2009}^2 \\\\ &= {2009}^2 - {2008}^2 + {2007}^2 - {2006}^2 + \cdots + 5^2 - 4^2 + 3^2 - 2^2 + 1^2 - 0^2 \\\\ &= ({2009}^2 - {2008}^2) + ({2007}^2 - {2006}^2) + \cdots + (5^2 - 4^2) + (3^2 - 2^2) + (1^2 - 0^2) \\\\ &= \displaystyle \sum \limits_{n = 0}^{1004} { {(2n+1)}^2 - {(2n)}^2 }\\\\ &= \displaystyle \sum \limits_{n = 0}^{1004} { 4n + 1 }\\\\ &= 4 \cdot \displaystyle \sum \limits_{n = 0}^{1004} { n } + \displaystyle \sum \limits_{n = 0}^{1004} { 1 } \\\\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1004 \cdot 1005 + 1005 \\\\ &= 2019045 \end{align*} \)

Cara 3: dengan rumus

Dari lemma ini, diketahui bahwa:

\( \sum \limits_{k = 1}^{2n+1} { {(-1)}^{k + 1} \cdot k^2 } = (n + 1)(2n + 1) \)

Ambil \( n = 1004 \), maka:

\( \begin{align*} \sum \limits_{k = 1}^{2009} { {(-1)}^{k + 1} \cdot k^2 } &= 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + {2007}^2 - {2008}^2 + {2009}^2 \\\\ &= 1005 \cdot 2009 \\ &= 2019045 \end{align*} \)

\( \begin{align*} \sum \limits_{k = 1}^{2n+1} { {(-1)}^{k + 1} \cdot k^2 } &= 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + {(2n - 1)}^2 - {(2n)}^2 + {(2n+1)}^2 \\\\ &= (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \cdots + ({(2n - 1)}^2 - {(2n)}^2) + {(2n+1)}^2 \\\\ &= -(1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (2n - 1) + 2n) + {(2n+1)}^2 \\\\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot 2n \cdot (2n + 1) + {(2n+1)}^2 \\\\ &= (-n) \cdot (2n + 1) + {(2n+1)}^2 \\\\ &= (2n + 1)(-n + 2n+1) \\\\ &= (2n + 1)(n + 1) \end{align*} \)

Penggunaan lemma ini bisa dilihat disini

\( {1.01}^{100} \gt 2 \)

Latihan yang diberikan pada soal-soal sebelumnya adalah latihan menyederhanakan barisan dan deret. Soal ini adalah kebalikannya. Soal ini dipilih untuk men-demonstrasi-kan penggunaan konsep barisan dan deret dalam memberikan analisa yang meyakinkan dan argumen yang kuat untuk menjawab soal ketaksamaan.

Perhatikan ketaksamaan di bawah ini:

\( \dfrac{101}{100} \gt \dfrac{102}{101} \gt \dfrac{103}{102} \gt \cdots \gt \dfrac{199}{198} \gt \dfrac{200}{199} \)

Dari ketaksamaan di atas:

\( \begin{align*} \dfrac{101}{100} \cdot \dfrac{101}{100} \cdot \dfrac{101}{100} \cdots \dfrac{101}{100} \cdot \dfrac{101}{100} &\gt \dfrac{101}{100} \cdot \dfrac{102}{101} \cdot \dfrac{103}{102} \cdots \dfrac{199}{198} \cdot \dfrac{200}{199} \\\\ {\left( \dfrac{101}{100} \right)}^{100} &\gt \dfrac{200}{100} \\\\ {1.01}^{100} &\gt 2 \end{align*} \)

Soal serupa ada di sini.