Latihan Faktorial
Kumpulan soal latihan faktorial dari berbagai sumber di internet.
Soal 1: Operasi polinomial.
Soal 1
Carilah bilangan asli \( n \) yang memenuhi persamaan berikut:
\( (n-1)! + 1 = n^2 \)
jawaban
\( 5 \)
penjelasan
\( \begin{align*} (n-1)! + 1 &= n^2\\ (n-1)! &= n^2 - 1\\ (n-1) \cdot (n - 2)! &= (n - 1) \cdot (n + 1)\\ (n - 2)! &= n + 1 \end{align*} \)
Misalkan \( m = n - 2 \)
\(
\begin{align*}
(m)! &= m + 3\\
(m)! - m &= 3\\
m \cdot ((m - 1)! - 1) &= 3
\end{align*}
\)
Karena \( n \) adalah bilangan asli, maka \( m \) harus bilangan asli juga.
Karena \( m \) adalah bilangan asli, maka \( (m - 1)! - 1 \) harus bilangan asli juga.
Artinya, ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan asli.
Karena, ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan asli, maka \( 3 \) harus dinyatakan dalam bentuk perkalian dua buah bilangan asli juga.
Hanya ada dua cara menyatakan \( 3 \) dalam bentuk perkalian dua buah bilangan asli:
- Kemungkinan 1: \( 1 \times 3 \)
- Kemungkinan 2: \( 3 \times 1 \)
Kemungkinan 1
\( m = 1 \) dan \( ((m - 1)! - 1) = 3 \)
Kemungkinan ini harus ditolak karena terjadi kontradiksi:
\(
\begin{align*}
(m - 1)! - 1 &= (1 - 1)! - 1\\
&= 0! - 1\\
&= 1 - 1\\
3 &\ne 0
\end{align*}
\)
Kemungkinan 2
\( m = 3 \) dan \( ((m - 1)! - 1) = 1 \)
Kemungkinan ini boleh diterima karena tidak ada kontradiksi:
\(
\begin{align*}
(m - 1)! - 1 &= (3 - 1)! - 1\\
&= 2! - 1\\
&= 2 - 1\\
1 &= 1
\end{align*}
\)
Karena \( m = n - 2 \) maka \( n = 5\)
Kesimpulan
Satu-satunya bilangan asli \( n \) yang memenuhi adalah \( n = 5 \)
tambahan
Dalam penjelasan di atas, salah satu hasil yang ditemukan adalah persamaan berikut:
\( (n - 2)! = n + 1 \)
Sebetulnya, bisa dibuktikan dengan mudah bahwa tidak akan ada \( n \gt 5\) yang memenuhi persamaan ini.
Karena \( n \gt 5\), maka:
\(
\begin{align*}
(n - 5) \cdot (n - 1) &\gt 0\\
n^2 - 6n + 5 &\gt 0\\
(n^2 - 6n + 5) + (n + 1) &\gt n + 1\\
n^2 - 5n + 6 &\gt n + 1\\
(n-3) \cdot (n-2) &\gt n + 1\\
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-3) \cdot (n-2) &\gt n + 1\\
(n-2)! &\gt n + 1
\end{align*}
\)
Jadi, pada rentang \( n \gt 5\), nilai \( (n - 2)! \) selalu lebih besar dari \( (n + 1) \). Dengan demikian, pasti tidak akan ada solusi di rentang \( n \gt 5\)
Selanjutnya, tinggal memeriksa satu persatu lima bilangan asli yang tersisa \( n \in \{1,2,3,4,5\} \)