\( 2 + \sqrt{3} \)

\( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \)

\( = \sqrt{4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3} \)

\( = \sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^2 } \)

\( = \sqrt{ {(2 + \sqrt{3})}^2 } \)

\( = 2 + \sqrt{3} \)

\( \sqrt{33} + \sqrt{61} \)

\( \sqrt{ 94 + 2\sqrt{2013} } \)

\( = \sqrt{ 33 + 2 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{61} + 61 } \)

\( = \sqrt{ {(\sqrt{33})}^2 + 2 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{61} + {(\sqrt{61})}^2 } \)

\( = \sqrt{ {(\sqrt{33} + \sqrt{61})}^2 } \)

\( = \sqrt{33} + \sqrt{61} \)

\( 1000 \)

\( \sqrt{ {999}^2 + 1999} \)

\( = \sqrt{ {999}^2 + 1998 + 1} \)

\( = \sqrt{ {999}^2 + 2 \cdot 999 + 1^2} \)

\( = \sqrt{ {(999+1)}^2 } \)

\( = 1000 \)

\( 131 \)

\( \sqrt{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 + 1} \)

\( = \sqrt{(10 \cdot 13) \cdot (11 \cdot 12) + 1} \)

\( = \sqrt{130 \cdot 132 + 1} \)

\( = \sqrt{(131 - 1) \cdot (131 + 1) + 1} \)

\( = \sqrt{ {131}^2 - 1 + 1} \)

\( = \sqrt{ {131}^2} \)

\( = 131 \)

\( 36 \)

Trik untuk menyelesaikan soal semacam ini adalah dengan memulai tanpa akar baru kemudian menjabarkannya.

\( \begin{align*} (x + 28) - x &= 28 \\ (\sqrt{x + 28} + \sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x + 28} - \sqrt{x}) &= 28 \\ 14 \cdot (\sqrt{x + 28} - \sqrt{x}) &= 28 \\ \sqrt{x + 28} - \sqrt{x} &= 2 \end{align*} \)

Jumlahkan persamaan yang diberikan di soal dan persamaan di atas:

\( \begin{align*} 2 \sqrt{x + 28} &= 16 \\ \sqrt{x + 28} &= 8 \\ x + 28 &= 64 \\ x &= 36 \end{align*} \)

\( \sqrt{2026} + 1 \)

Karena fungsi akar selalu mengembalikan nilai non-negatif, maka nilai \( x \) pun pasti tidak negatif. Artinya \( x \ge 0 \)

Sekarang, kuadratkan kedua ruas persamaan:

\( \begin{align*} x &= \sqrt{ 2026 + \sqrt{2026} + x } \\ x^2 &= 2026 + \sqrt{2026} + x \\ x^2 - 2026 &= x + \sqrt{2026} \\ (x - \sqrt{2026})(x + \sqrt{2026}) &= x + \sqrt{2026} \\ (x - \sqrt{2026} - 1)(x + \sqrt{2026}) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua kasus yang harus diperiksa:

Kasus 1

\( \begin{align*} x - \sqrt{2026} - 1 &= 0 \\ x &= \sqrt{2026} + 1 \end{align*} \)

Kasus 2

\( \begin{align*} x + \sqrt{2026} &= 0 \\ x &= - \sqrt{2026} \end{align*} \)

Karena \( x \ge 0 \) maka \( x = - \sqrt{2026} \) bukan solusi.

Kesimpulan

Dengan demikian, satu-satunya solusi adalah \( x = \sqrt{2026} + 1 \)

\( \dfrac{ \sqrt{5} + 1 }{2} \)

\( \begin{align*} x &= \dfrac{ \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{9} + \sqrt{15} }{ \sqrt{1} + \sqrt{5} + \sqrt{12} } \\ \\ x &= \dfrac{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{5}) }{ \sqrt{1} + \sqrt{5} + \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} }\\ \\ x &= \dfrac{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (1 + \sqrt{3}) }{ \sqrt{1} + \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{3} }\\ \\ x &= \dfrac{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (1 + \sqrt{3}) }{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + (1 + \sqrt{3}) }\\ \\ \dfrac{1}{x} &= \dfrac{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + (1 + \sqrt{3}) }{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (1 + \sqrt{3}) }\\ \\ \dfrac{1}{x} &= \dfrac{1}{ (1 + \sqrt{3}) } + \dfrac{1}{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) }\\ \\ \dfrac{1}{x} &= \dfrac{1}{ (\sqrt{3} + 1) } \cdot \dfrac{ (\sqrt{3} - 1) }{ (\sqrt{3} - 1) } + \dfrac{1}{ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) } \cdot \dfrac{ (\sqrt{5} - \sqrt{3}) }{ (\sqrt{5} - \sqrt{3}) }\\ \\ \dfrac{1}{x} &= \dfrac{ (\sqrt{3} - 1) }{2} + \dfrac{ (\sqrt{5} - \sqrt{3}) }{2}\\ \\ \dfrac{1}{x} &= \dfrac{ (\sqrt{5} - 1) }{2}\\ \\ x &= \dfrac{2}{ (\sqrt{5} - 1) }\\ \\ x &= \dfrac{2}{ (\sqrt{5} - 1) } \cdot \dfrac{ (\sqrt{5} + 1) }{ (\sqrt{5} + 1) }\\ \\ x &= \dfrac{2 \cdot (\sqrt{5} + 1)}{4}\\ \\ x &= \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{align*} \)

\( \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} \) dikenal juga sebagai golden ratio, sebuah bilangan riil yang sangat terkenal di matematika. Biasanya dilambangkan dengan simbol phi \( \varphi \)

\( \varphi = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1.618033988749 \cdots \)

\( \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

\( \sqrt{ \sqrt{25} - \sqrt{24} } \)

\( = \sqrt{ 5 - \sqrt{24} } \)

\( = \sqrt{ 2 - 2 \cdot \sqrt{6} + 3} \)

\( = \sqrt{ {(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^2 } \)

\( = \lvert \sqrt{2} - \sqrt{3} \rvert \)

\( = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

Ada pembaca yang mempertanyakan bukankah \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \) juga memenuhi persamaan di atas? Tidak. Hanya ada satu solusi untuk persamaan di atas, yaitu \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

Pemikiran yang salah

\( \sqrt{ {(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^2 } \) mempunyai dua solusi, yaitu: \( \pm \sqrt{2} - \sqrt{3} \)

Solusi 1 adalah \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \)
Solusi 2 adalah \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

Untuk menjelaskan kenapa pemikiran ini salah, perhatikan definisi fungsi dan fungsi akar di bawah ini.

Definisi fungsi dan fungsi akar

Ingat bahwa setiap fungsi apapun di matematika pasti mengembalikan tepat satu nilai.
Dalam bahasa sehari-hari: fungsi apapun di matematika hanya mengeluarkan satu output.

Tanda √ adalah sebuah simbol yang mewakili fungsi akar. Karena √ adalah fungsi akar, maka √ harus mengeluarkan satu output. Dan, fungsi akar didefinisikan sebagai fungsi yang mengembalikan nilai non-negatif.

Karena fungsi akar harus mengembalikan nilai non-negatif, maka \( \sqrt{x^2} = \lvert x \rvert \)
Tanda nilai mutlak menjamin bahwa nilai \( x \) yang dikembalikan pasti tidak negatif.

Kesimpulan

Pemikiran yang salah ini berawal dari "lupa" atau "tidak tahu" bahwa √ adalah sebuah fungsi dan beranggapan bahwa √ mengeluarkan dua output.

Pemikiran yang benar adalah: √ adalah sebuah fungsi dan hanya mengeluarkan satu output, yaitu output yang tidak negatif.

Eksperimen

Seandainya masih ada pembaca yang belum percaya, silakan buka kalkulator dan cari akar sebuah bilangan. Kalkulator pasti mengeluarkan satu output dan output-nya tidak negatif.

\( 2 - \sqrt{3} \)

\( \sqrt{ \sqrt{49} - \sqrt{48} } \)

\( = \sqrt{ 7 - 2 \cdot \sqrt{12} } \)

\( = \sqrt{ 3 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} + 4 } \)

\( = \sqrt{ {(\sqrt{3})}^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} + {(\sqrt{4})}^2 } \)

\( = \sqrt{ {(\sqrt{3} - \sqrt{4})}^2 } \)

\( = \lvert \sqrt{3} - \sqrt{4} \rvert \)

\( = \sqrt{4} - \sqrt{3} \)

\( = 2 - \sqrt{3} \)