$8.88$

$0.125={\displaystyle \frac{125}{1000}=\frac{25}{200}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}}$

$0.125\times 8=1$

$1.11÷0.125={\displaystyle \frac{1.11}{0.125}=\frac{1.11\times 8}{0.125\times 8}=\frac{8.88}{1}=8.88}$

$12100$

$8\times 236+92\times 111$

$=(8\times 236)+(92\times 111)$

$=(8\times (111+125\left)\right)+(92\times 111)$

$=(8\times 111)+(8\times 125)+(92\times 111)$

$=(8\times 111)+(92\times 111)+(8\times 125)$

$=(8+92)\times 111+1000$

$=100\times 111+1000$

$=11100+1000$

$=12100$

$148$

${\displaystyle 39\times \frac{148}{149}+148\times \frac{86}{149}+48\times \frac{74}{149}}$

$={\displaystyle \frac{1}{149}\times (39\times 148+148\times 86+48\times 74)}$

$={\displaystyle \frac{1}{149}\times (39\times 148+148\times 86+2\times 24\times 74)}$

$={\displaystyle \frac{1}{149}\times (39\times 148+148\times 86+24\times 148)}$

$={\displaystyle \frac{148}{149}\times (39+86+24)}$

$={\displaystyle \frac{148}{149}\times 149}$

$=148$

${\displaystyle \frac{2}{7}}$

${\displaystyle \frac{2\times 3\times 5+8\times 12\times 20+10\times 15\times 25}{3\times 5\times 7+12\times 20\times 28+15\times 25\times 35}}$

$={\displaystyle \frac{(2\times 3\times 5)+(8\times 12\times 20)+(10\times 15\times 25)}{(3\times 5\times 7)+(12\times 20\times 28)+(15\times 25\times 35)}}$

$={\displaystyle \frac{(2\times 3\times 5)+\left[\right(2\times 4)\times (3\times 4)\times (5\times 4\left)\right]+\left[\right(2\times 5)\times (3\times 5)\times (5\times 5\left)\right]}{(3\times 5\times 7)+\left[\right(3\times 4)\times (5\times 4)\times (7\times 4\left)\right]+\left[\right(3\times 5)\times (5\times 5)\times (7\times 5\left)\right]}}$

$={\displaystyle \frac{(2\times 3\times 5)+\left[\right(2\times 3\times 5)\times (4\times 4\times 4\left)\right]+\left[\right(2\times 3\times 5)\times (5\times 5\times 5\left)\right]}{(3\times 5\times 7)+\left[\right(3\times 5\times 7)\times (4\times 4\times 4\left)\right]+\left[\right(3\times 5\times 7)\times (5\times 5\times 5\left)\right]}}$

$={\displaystyle \frac{(2\times 3\times 5)\times [1+(4\times 4\times 4)+(5\times 5\times 5\left)\right]}{(3\times 5\times 7)\times [1+(4\times 4\times 4)+(5\times 5\times 5\left)\right]}}$

$={\displaystyle \frac{(2\times 3\times 5)}{(3\times 5\times 7)}}$

$={\displaystyle \frac{2}{7}}$

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}$

$=\sqrt{5-\sqrt{24}}$

$=\sqrt{2-\sqrt{24}+3}$

$=\sqrt{2-2\cdot \sqrt{6}+3}$

$=\sqrt{2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+3}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^2}$

Ingat bahwa $\surd$ adalah fungsi akar dan semua fungsi hanya mengembalikan satu output. Tidak ada fungsi yang mengembalikan dua output. Dan, fungsi akar didefinisikan sebagai fungsi yang mengembalikan nilai non-negatif.

Karena $\surd$ harus mengembalikan nilai non-negatif, maka ekspresi $\sqrt{{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^2}$ harus memberikan nilai non-negatif juga.

Karena $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ bernilai negatif, maka bukan ini jawabannya.

Jawaban yang betul adalah $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ yaitu jawaban yang tidak negatif.

$1000$

$\sqrt{{999}^2+1999}$

$=\sqrt{{999}^2+1998+1}$

$=\sqrt{{999}^2+2\cdot 999+1^2}$

$=\sqrt{{(999+1)}^2}$

$=\sqrt{{1000}^2}$

$=1000$

$2-\sqrt{3}$

$\sqrt{\sqrt{49}-\sqrt{48}}$

$=\sqrt{7-\sqrt{4}\cdot \sqrt{12}}$

$=\sqrt{7-2\cdot \sqrt{12}}$

$=\sqrt{3+4-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{4}}$

$=\sqrt{3-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{4}+4}$

$=\sqrt{{\sqrt{3}}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{4}+{\sqrt{4}}^2}$

$=\sqrt{{(\sqrt{3}-\sqrt{4})}^2}$

Perhatikan bahwa fungsi akar selalu mengembalikan nilai non-negatif. Secara formal $\sqrt{x^2}=\mathrm{|x|}$

Maka ekspresi $\sqrt{{(\sqrt{3}-\sqrt{4})}^2}$ harus mengembalikan nilai non-negatif juga.

$=\sqrt{{(\sqrt{3}-\sqrt{4})}^2}$

$=|\sqrt{3}-\sqrt{4}|$

$=\sqrt{4}-\sqrt{3}$

$=2-\sqrt{3}$

$\sqrt{33}+\sqrt{61}$

$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}$

$=\sqrt{33+61+2\cdot \sqrt{33}\cdot \sqrt{61}}$

$=\sqrt{{\sqrt{33}}^2+2\cdot \sqrt{33}\cdot \sqrt{61}+{\sqrt{61}}^2}$

$=\sqrt{{(\sqrt{33}+\sqrt{61})}^2}$

$=\sqrt{33}+\sqrt{61}$

$=2+\sqrt{3}$

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

$=\sqrt{7+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}$

$=\sqrt{4+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+3}$

$=\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2}$

$=2+\sqrt{3}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{{2024}^2+{2026}^2}}$

$={\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{{(2025-1)}^2+{(2025+1)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{({2025}^2-2\cdot 2025+1)+({2025}^2+2\cdot 2025+1)}}$

$={\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{2({2025}^2+1)}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$2016+{2015}^2$

${\displaystyle \frac{{2016}^3+{2015}^3}{{2016}^2-{2015}^2}}$

$={\displaystyle \frac{(2016+2015)({2016}^2-2016\cdot 2015+{2015}^2)}{(2016+2015)(2016-2015)}}$

$={2016}^2-2016\cdot 2015+{2015}^2$

$=2016(2016-2015)+{2015}^2$

$=2016+{2015}^2$

$56$

Cukup jelas bahwa $7777$ dan $8888$ keduanya mempunyai faktor $1111$

Tetapi bagaimana dengan $1234321$? Apakah $1234321$ juga mempunyai faktor $1111$?

Pembaca bisa mencoba membagi $1234321$ dengan $1111$ untuk memeriksanya. Tetapi, pembahasan ini akan menawarkan pemfaktoran $1234321$ dengan cara lain. Yaitu, dengan bermodalkan pengetahuan $11\times 11=121$ dan ilmu persamaan kuadrat.

$1234321$
$=1234200+121$
$=1210000+24200+121$
$=(121\times 10000)+(242\times 100)+(11\times 11)$
$=(11\times 11\times 10000)+(2\times 121\times 100)+(11\times 11)$
$=(1100\times 1100)+(2\times 11\times 11\times 100)+(11\times 11)$
$=(1100\times 1100)+(2\times 1100\times 11)+(11\times 11)$
$={1100}^2+2\cdot 1100\cdot 11+{11}^2$
$={(1100+11)}^2$
$={1111}^2$

Ternyata $1234321=1111\times 1111$

${\displaystyle \frac{7777\times 8888}{1234321}}$

$={\displaystyle \frac{(7\times 1111)\times (8\times 1111)}{1111\times 1111}}$

$=56$

${\displaystyle \frac{11}{19}}$

Sebelum ekspresi ${\displaystyle \frac{517}{893}}$ bisa disederhanakan, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari $517$ dan $893$ perlu dicari dulu.

Bagaimana mencari FPB dari $517$ dan $893$? Salah satu teknik yang ampuh untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan Algoritma Euclid. Langkah-langkah di bawah ini akan menggunakan Algoritma Euclid:

$893=517\cdot 1+376$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (893,517)$ sama dengan $\gcd (517,376)$

$517=376\cdot 1+141$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (517,376)$ sama dengan $\gcd (376,141)$

$376=141\cdot 2+94$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (376,141)$ sama dengan $\gcd (141,94)$

$141=94\cdot 1+47$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (141,94)$ sama dengan $\gcd (94,47)$

$94=47\cdot 2+0$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (94,47)$ sama dengan $\gcd (47,0)$

Dan terakhir sekali, menurut salah satu sifat GCD, $\gcd (47,0)=47$
Dari rantai algoritma di atas, diperoleh $\gcd (893,517)=47$

${\displaystyle \frac{517}{893}=\frac{47\times 11}{47\times 19}=\frac{11}{19}}$

${\displaystyle \frac{12}{19}}$

Sebelum ekspresi ${\displaystyle \frac{636}{1007}}$ bisa disederhanakan, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari $636$ dan $1007$ perlu dicari dulu.

Bagaimana mencari FPB dari $636$ dan $1007$? Salah satu teknik untuk mencari FPB bilangan-bilangan yang besar adalah dengan menggunakan Algoritma Euclid.

$1007=636\cdot 1+371$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (1007,636)$ sama dengan $\gcd (636,371)$

$636=371\cdot 1+265$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (636,371)$ sama dengan $\gcd (371,265)$

$371=265\cdot 1+106$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (371,265)$ sama dengan $\gcd (265,106)$

$265=106\cdot 2+53$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (265,106)$ sama dengan $\gcd (106,53)$

$106=53\cdot 2+0$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (106,53)$ sama dengan $\gcd (53,0)$

Dan terakhir sekali, menurut salah satu sifat GCD, $\gcd (53,0)=53$
Dari rantai algoritma di atas, diperoleh $\gcd (1007,636)=53$

${\displaystyle \frac{636}{1007}=\frac{53\times 12}{53\times 19}=\frac{12}{19}}$