$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}$

$=\sqrt{5-\sqrt{24}}$

$=\sqrt{2-\sqrt{24}+3}$

$=\sqrt{2-2\cdot \sqrt{6}+3}$

$=\sqrt{2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+3}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^2}$

Ingat bahwa $\surd$ adalah fungsi akar dan semua fungsi hanya mengembalikan satu output. Tidak ada fungsi yang mengembalikan dua output. Dan, fungsi akar didefinisikan sebagai fungsi yang mengembalikan nilai non-negatif.

Karena $\surd$ harus mengembalikan nilai non-negatif, maka ekspresi $\sqrt{{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^2}$ harus memberikan nilai non-negatif juga.

Karena $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ bernilai negatif, maka bukan ini jawabannya.

Jawaban yang betul adalah $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ yaitu jawaban yang tidak negatif.

$1000$

$\sqrt{{999}^2+1999}$

$=\sqrt{{999}^2+1998+1}$

$=\sqrt{{999}^2+2\cdot 999+1^2}$

$=\sqrt{{(999+1)}^2}$

$=\sqrt{{1000}^2}$

$=1000$

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{{2024}^2+{2026}^2}}$

$={\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{{(2025-1)}^2+{(2025+1)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{({2025}^2-2\cdot 2025+1)+({2025}^2+2\cdot 2025+1)}}$

$={\displaystyle \frac{{2025}^2+1}{2({2025}^2+1)}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$=2+\sqrt{3}$

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

$=\sqrt{7+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}$

$=\sqrt{4+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+3}$

$=\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2}$

$=2+\sqrt{3}$

$2016+{2015}^2$

${\displaystyle \frac{{2016}^3+{2015}^3}{{2016}^2-{2015}^2}}$

$={\displaystyle \frac{(2016+2015)({2016}^2-2016\cdot 2015+{2015}^2)}{(2016+2015)(2016-2015)}}$

$={2016}^2-2016\cdot 2015+{2015}^2$

$=2016(2016-2015)+{2015}^2$

$=2016+{2015}^2$

${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{9}+\sqrt{15}}{\sqrt{1}+\sqrt{5}+\sqrt{12}}}$

$={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{1+\sqrt{5}+\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}}$

$={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}{1+\sqrt{5}+2\cdot \sqrt{3}}}$

$={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(1+\sqrt{3})}}$

Misalkan $x={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(1+\sqrt{3})}}$

Maka

${\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}}$

${\displaystyle =\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}+\frac{(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}}$

${\displaystyle =\frac{1}{(1+\sqrt{3})}+\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})}}$

${\displaystyle =\frac{1}{(\sqrt{3}+1)}+\frac{1}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}}$

${\displaystyle =\frac{1}{(\sqrt{3}+1)}\cdot \frac{(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)}+\frac{1}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}\cdot \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}}$

${\displaystyle =\frac{(\sqrt{3}-1)}{2}+\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}}$

${\displaystyle =\frac{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}\cdot \frac{(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}+1)}}$

${\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}}$

Dengan demikian ${\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$

${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ dikenal juga sebagai golden ratio, sebuah bilangan riil yang sangat terkenal di matematika. Biasanya dilambangkan dengan simbol phi $\phi$

$\phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\mathrm{1.618033988749...}$

${\displaystyle \frac{3}{55}}$

${\displaystyle \frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}}$

$={\displaystyle \frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 11}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11})}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (\frac{7-5}{5\cdot 7}+\frac{9-7}{7\cdot 9}+\frac{11-9}{9\cdot 11})}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (\frac{7}{5\cdot 7}-\frac{5}{5\cdot 7}+\frac{9}{7\cdot 9}-\frac{7}{7\cdot 9}+\frac{11}{9\cdot 11}-\frac{9}{9\cdot 11})}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11})}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{11})}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{11-5}{5\cdot 11}\right)}$

$={\displaystyle \frac{6}{2\cdot 5\cdot 11}}$

$={\displaystyle \frac{3}{55}}$

$12100$

$8\times 236+92\times 111$

$=(8\times 236)+(92\times 111)$

$=(8\times (111+125\left)\right)+(92\times 111)$

$=(8\times 111)+(8\times 125)+(92\times 111)$

$=(8\times 111)+(92\times 111)+(8\times 125)$

$=(8+92)\times 111+1000$

$=100\times 111+1000$

$=11100+1000$

$=12100$

${\displaystyle \frac{11}{19}}$

Sebelum ekspresi ${\displaystyle \frac{517}{893}}$ bisa disederhanakan, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari $517$ dan $893$ perlu dicari dulu.

Bagaimana mencari FPB dari $517$ dan $893$? Salah satu teknik yang ampuh untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan Algoritma Euclid. Langkah-langkah di bawah ini akan menggunakan Algoritma Euclid:

$893=517\cdot 1+376$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (893,517)$ sama dengan $\gcd (517,376)$

$517=376\cdot 1+141$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (517,376)$ sama dengan $\gcd (376,141)$

$376=141\cdot 2+94$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (376,141)$ sama dengan $\gcd (141,94)$

$141=94\cdot 1+47$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (141,94)$ sama dengan $\gcd (94,47)$

$94=47\cdot 2+0$
Menurut Algoritma Euclid, $\gcd (94,47)$ sama dengan $\gcd (47,0)$

Dan terakhir sekali, menurut salah satu sifat GCD, $\gcd (47,0)=47$
Dari rantai algoritma di atas, diperoleh $\gcd (893,517)=47$

${\displaystyle \frac{517}{893}=\frac{47\times 11}{47\times 19}=\frac{11}{19}}$