\( (a, b) = (33, 35) \)

Penjelasan yang diberikan menggunakan konsep rasio. Penjelasan ini sebetulnya sudah dijelaskan di sekolah tapi mungkin, karena jarang digunakan, terasa asing. Penjelasan ini dipilih untuk menyegarkan kembali ingatan pembaca akan konsep rasio.

Ekspresi \( \dfrac{a}{b + 9} = \dfrac{3}{4} \) kalau dibaca dalam konsep rasio adalah:

\( \begin{align*} a &= 3x\\ b + 9 &= 4x \end{align*} \)

Kalau dijumlahkan menjadi \( a + b + 9 = 7x \)

Karena \( a + b = 68\), maka:
\( \begin{align*} 68 + 9 &= 7x\\ x &= 11 \end{align*} \)

Berarti \( a = 3x = 33\)

\( \begin{align*} b + 9 &= 4x\\ b + 9 &= 44\\ b &= 35 \end{align*} \)

\( (a, b) = (24, 12) \)

\( \begin{align*} \dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} &= 14\\ \\ \dfrac{2}{3}a + b &= 28\\ \\ (a + b) - \dfrac{1}{3}a &= 28\\ \\ 36 - \dfrac{1}{3}a &= 28\\ \\ a &= 24 \end{align*} \)

Substitusi \( a = 24 \) ke persamaan awal:
\( \begin{align*} a + b &= 36\\ 24 + b &= 36\\ b &= 12 \end{align*} \)

\( (a, b, c) = \{(675, 2, 676), (2027, 0, 2026)\} \)

\( \begin{align*} (a + bc) - (ab + c) &= 2027 - 2026 \\ (a - ab) + (bc - c) &= 1 \\ a(1 - b) + c(b - 1) &= 1 \\ (c - a)(b - 1) &= 1 \end{align*} \)

Karena \( a \), \( b \), \( c \) adalah bilangan bulat, maka \( (c - a) \) dan \( (b - 1) \) pasti bilangan bulat juga. Artinya ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat.

Di ruas kanan, \( 1 \) pun bisa dinyatakan sebagai perkalian dua buah bilangan bulat. Ada dua cara untuk menyatakan \( 1 \) sebagai perkalian dua buah bilangan bulat, yaitu:
\( 1 = 1 \times 1 \)
\( 1 = (-1) \times (-1) \)

Akibatnya, hanya ada dua nilai yang mungkin untuk \( (b - 1) \), yaitu \( 1 \) dan \( -1 \).

Kemungkinan 1

\( (b - 1) = 1 \) dan \( (c - a) = 1 \)
Dari persamaan di atas, cukup jelas bahwa \( b = 2 \)

Substitusi \( b = 2 \) ke dalam persamaan awal:

Persamaan (1):
\( \begin{align*} a + 2c &= 2027 \\ 2a + 4c &= 4054 \end{align*} \)

Persamaan (2):
\( \begin{align*} 2a + c &= 2026 \end{align*} \)

Dari (1) - (2) diperoleh:
\( \begin{align*} 3c &= 2028\\ c &= 676 \end{align*} \)

Akibatnya:
\( \begin{align*} c - a &= 1\\ 676 - a &= 1\\ a &= 675 \end{align*} \)

Jadi triplet \( (a, b, c) \) pertama yang memenuhi adalah \( (675, 2, 676) \)

Kemungkinan 2

\( (b - 1) = -1 \) dan \( (c - a) = -1 \)
Dari persamaan di atas, cukup jelas bahwa \( b = 0 \)

Substitusi \( b = 0 \) ke dalam persamaan awal dan akan diperoleh
\( a = 2027 \)
\( c = 2026 \)

Jadi triplet \( (a, b, c) \) kedua yang memenuhi adalah \( (2027, 0, 2026) \)

Kesimpulan

Ada dua triplet \( (a, b, c) \) yang memenuhi. Yaitu \( (675, 2, 676) \) dan \( (2027, 0, 2026) \)

Ada dua nilai yang mungkin:
\( m + n = -7 \)
\( m + n = 6 \)

\( m^2 + mn + n = 14 \text{ .... (1)} \)
\( n^2 + mn + m = 28 \text{ .... (2)} \)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2):

\( \begin{align*} m^2 + n^2 + 2mn + m + n &= 42\\ (m^2 + 2mn + n^2) + (m + n) &= 42\\ {(m + n)}^2 + (m + n) &= 42\\ x^2 + x &= 42\\ x^2 + x - 42 &= 0\\ (x + 7)(x - 6) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua nilai \( x \) yang memenuhi, yaitu \( x_1 = -7 \) dan \( x_2 = 6 \)
Berarti ada dua nilai \( m + n \) yang memenuhi, yaitu \( m + n = -7 \) atau \( m + n = 6 \)

\( 105 \)

Persamaan (1):

\( \begin{align*} \dfrac{bc}{ab} &= \dfrac{20}{10} \\ \\ \dfrac{c}{a} &= 2 \\ \\ c &= 2a \end{align*} \)

Persamaan (2):

\( \begin{align*} \dfrac{ac}{bc} &= \dfrac{40}{20} \\ \\ \dfrac{a}{b} &= 2 \\ \\ a &= 2b \end{align*} \)

Kembali ke persamaan yang diberikan di awal:
\( \begin{align*} ab &= 10\\ 2b \cdot b &= 10\\ b^2 &= 5 \end{align*} \)

\( \begin{align*} ab &= 10\\ a \cdot \left( \dfrac{a}{2} \right) &= 10\\ a^2 &= 20 \end{align*} \)

\( \begin{align*} ac &= 40\\ \left( \dfrac{c}{2} \right) \cdot c &= 40\\ c^2 &= 80 \end{align*} \)

Dengan demikian \( a^2 + b^2 + c^2 = 105 \)

\( (x, y) = ( 2\sqrt{5}, \sqrt{5} )\)

\( \begin{align*} x^2 - y^2 &= 15\\ (x - y) \cdot (x + y) &= 15\\ \sqrt{5} \cdot (x + y) &= 15\\ (x + y) &= 3 \sqrt{5}\\ \end{align*} \)

\( \begin{align*} (x + y) + (x - y) &= 3 \sqrt{5} + \sqrt{5}\\ 2x &= 4 \sqrt{5}\\ x &= 2 \sqrt{5} \end{align*} \)

\( \begin{align*} x - y &= \sqrt{5}\\ 2 \sqrt{5} - y &= \sqrt{5}\\ y &= \sqrt{5} \end{align*} \)

\( 28 \)

\( \begin{align*} a - b &= 2 \text{ .... (i)} \\ b - c &= 4 \text{ .... (ii)} \end{align*} \)

Jumlahkan (i) dan (ii) dan diperoleh:
\( a - c = 6 \text{ .... (iii)} \)

Kuadratkan (i), (ii) dan (iii) kemudian jumlahkan:
\( \begin{align*} a^2 - 2ab + b^2 &= 4\\ b^2 - 2bc + c^2 &= 16\\ a^2 - 2ca + c^2 &= 36\\ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca &= 56\\ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca &= 28 \end{align*} \)

\( (a, b) = \{ (3,6),(4,4),(6,3) \} \)

\( \begin{align*} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} &= \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{a + b}{ab} &= \dfrac{1}{2} \\ \\ 2(a + b) &= ab \\ \\ ab - 2a - 2b &= 0 \end{align*} \)

Sampai disini rasanya masih mudah untuk diikuti. Sekarang, akan dijelaskan mengenai teknik melengkapi kuadrat. Sebagai alat bantu, persamaan di atas akan ditransformasikan ke geometri agar lebih mudah dipahami.

Misalkan ada sebuah segi empat dengan panjang \( a \) dan lebar \( b \) seperti di bawah. Tentu saja luas segi empat ini adalah \( ab \)

Kemudian, misalkan ada segi empat biru dengan panjang \( 2 \) dan lebar \( b \) berada di dalam segi empat tersebut. Tentu saja luas segi empat biru ini adalah \( 2b \).
Dan tentu saja luas segi empat yang diarsir adalah \( ab - 2b\).

Kemudian, misalkan ada segi empat hijau dengan panjang \( a \) dan lebar \( 2 \) berada di dalam segi empat tersebut. Tentu saja luas segi empat hijau ini adalah \( 2a \).
Perhatikan bahwa segi empat kecil dengan luas \( 4 \), yang ada di pojok kiri bawah, dihitung dua kali. Karena segi empat ini dihitung dua kali, maka luas segi empat yang diarsir harus ditambahkan \( 4 \) yaitu \( ab - 2a - 2b + 4 \)

Selain itu, luas segi empat yang diarsir boleh juga dinyatakan sebagai \( (a - 2)(b - 2) \)

Artinya, ada dua cara menyatakan luas segi empat yang diarsir, yaitu \( ab - 2a - 2b + 4 \) dan \( (a - 2 )(b - 2) \)

\( \begin{align*} ab - 2a - 2b + 4 &= (a - 2 )(b - 2) \\ ab - 2a - 2b &= (a - 2 )(b - 2) - 4 \end{align*} \)

Kembali ke persamaan awal:
\( \begin{align*} ab - 2a - 2b &= 0 \\ (a - 2 )(b - 2) - 4 &= 0 \\ (a - 2 )(b - 2) &= 4 \end{align*} \)

Untuk menyelesaikan persamaan ini, diperlukan sedikit teori bilangan sebagai berikut.

Karena \( a \) dan \( b \) adalah bilangan bulat, maka \( (a - 2) \) dan \( (b - 2) \) pasti bilangan bulat juga. Kemudian, dari geometri, jelas sekali bahwa \( (a - 2) \) dan \( (b - 2) \) pasti bilangan positif. Berarti ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat positif. Bagaimana dengan ruas kanan? Apakah \( 4 \) bisa dinyatakan sebagai perkalian dua buah bilangan bulat positif? Bisa. Ada tiga kemungkinan:

\( \begin{align*} 4 &= 1 \times 4 \\ 4 &= 2 \times 2 \\ 4 &= 4 \times 1 \end{align*} \)

Kemungkinan 1

\( a - 2 = 1 \) dan \( b - 2 = 4 \)
Berarti \( a = 3 \) dan \( b = 6 \)

Kemungkinan 2

\( a - 2 = 2 \) dan \( b - 2 = 2 \)
Berarti \( a = 4 \) dan \( b = 4 \)

Kemungkinan 3

\( a - 2 = 4 \) dan \( b - 2 = 1 \)
Berarti \( a = 6 \) dan \( b = 3 \)

Kesimpulan

Ada tiga pasangan \( (a, b) \) yang memenuhi, yaitu \( (3, 6) \), \( (4, 4) \), \( (6, 3) \)

Bentuk yang lebih umum dari soal ini ada di sini.

\( (a, b) = \{ (6, 30), (10, 10), (30, 6) \} \)

Sedikit berbeda dengan pembahasan di soal sebelumnya, penjelasan yang diberikan di soal ini hanya akan menggunakan aljabar dan teori bilangan.

\( \begin{align*} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} &= \dfrac{1}{5} \\ ab - 5a - 5b &= 0 \\ ab - 5a - 5b + 25 &= 25 \\ (a - 5)(b - 5) &= 25 \end{align*} \)

Perkalian dua buah bilangan bulat

Karena \( a \) dan \( b \) adalah bilangan bulat, maka \( (a - 5) \) dan \( (b - 5) \) pasti bilangan bulat juga. Berarti ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat.

Perkalian dua buah bilangan bulat tidak negatif

Apakah \( (a - 5) \) atau \( (b - 5) \) mungkin bernilai negatif? Tidak mungkin. Pembuktian melalui kontradiksi sebagai berikut:

Jika \( a - 5 \lt 0 \) maka \( a \lt 5 \)

Jika \( a \lt 5 \) maka \( \dfrac{1}{a} \gt \dfrac{1}{5} \)

Jika \( \dfrac{1}{a} \gt \dfrac{1}{5} \) maka \( \dfrac{1}{b} \) harus bernilai negatif.

Jika \( \dfrac{1}{b} \) bernilai negatif, maka \( b \) pasti bernilai negatif.

Kesimpulan ini bertentangan dengan informasi yang diberikan di soal, yaitu bilangan bulat positif \( b \). Terjadi kontradiksi. Dengan demikian \( (a - 5) \) tidak mungkin bernilai negatif. Dengan cara yang sama juga bisa dibuktikan\( (b - 5) \) tidak mungkin bernilai negatif.

Perkalian dua buah bilangan bulat tidak nol

Apakah \( (a - 5) \) atau \( (b - 5) \) mungkin bernilai nol? Tidak mungkin. Jika salah satu dari \( (a - 5) \) atau \( (b - 5) \) bernilai nol, maka ruas kiri akan bernilai \( 0 \).

Perkalian dua buah bilangan bulat positif

Dari dua pembuktian singkat di atas, bisa disimpulkan bahwa \( (a - 5) \) dan \( (b - 5) \) pasti bilangan bulat positif. Berarti, ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat positif.

Bagaimana dengan ruas kanan? Apakah \( 25 \) bisa dinyatakan sebagai perkalian dua buah bilangan bulat positif? Bisa. Ada tiga kemungkinan:

\( \begin{align*} 25 &= 1 \times 25 \\ 25 &= 5 \times 5 \\ 25 &= 25 \times 1 \end{align*} \)

Kemungkinan 1

\( a - 5 = 1 \) dan \( b - 5 = 25 \)
Berarti \( a = 6 \) dan \( b = 30 \)

Kemungkinan 2

\( a - 5 = 5 \) dan \( b - 5 = 5 \)
Berarti \( a = 10 \) dan \( b = 10 \)

Kemungkinan 3

\( a - 5 = 25 \) dan \( b - 5 = 1 \)
Berarti \( a = 30 \) dan \( b = 6 \)

Kesimpulan

Ada tiga pasangan \( (a, b) \) yang memenuhi, yaitu \( (6, 30) \), \( (10, 10) \), \( (30, 6) \)

Bentuk yang lebih umum dari soal ini ada di sini.

\( (a, b) = \{ (8, 56), (14, 14), (56, 8) \} \)

Teknik ini sama persis seperti teknik yang digunakan pada soal sebelumnya.

\( \begin{align*} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} &= \dfrac{1}{7} \\ ab - 7a - 7b &= 0 \\ ab - 7a - 7b + 49 &= 49 \\ (a - 7)(b - 7) &= 49 \end{align*} \)

Pada persamaan di atas, \( (a - 7) \) dan \( (b - 7) \) pasti bilangan bulat positif.

• Pembuktian secara geometris diberikan di sini.
• Pembuktian secara aljabar/teori bilangan diberikan di sini.

Karena ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat positif, maka ruas \( 49 \) harus dinyatakan dalam perkalian dua buah bilangan bulat positif juga. Ada tiga cara menyatakan \( 49 \) sebagai perkalian dua buah bilangan bulat positif:

\( \begin{align*} 49 &= 1 \times 49 \\ 49 &= 7 \times 7 \\ 49 &= 49 \times 1 \end{align*} \)

Kemungkinan 1

\( a - 7 = 1 \) dan \( b - 7 = 49 \)
Berarti \( a = 8 \) dan \( b = 56 \)

Kemungkinan 2

\( a - 7 = 7 \) dan \( b - 7 = 7 \)
Berarti \( a = 14 \) dan \( b = 14 \)

Kemungkinan 3

\( a - 7 = 49 \) dan \( b - 7 = 1 \)
Berarti \( a = 56 \) dan \( b = 8 \)

Kesimpulan

Ada tiga pasangan \( (a, b) \) yang memenuhi, yaitu \( (8, 56) \), \( (14, 14) \), \( (56, 8) \)

Bentuk yang lebih umum dari soal ini ada di sini.

\( a_1 = p + 1 \) dan \( b_1 = p(p + 1) \)
\( a_2 = 2p \) dan \( b_2 = 2p \)
\( a_3 = p(p + 1) \) dan \( b_3 = p + 1 \)

\( \begin{align*} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} &= \dfrac{1}{p} \\ ab - ap - bp &= 0 \\ ab - ap - bp + p^2 &= p^2 \\ (a - p)(b - p) &= p^2 \end{align*} \)

Perkalian dua buah bilangan bulat

Cukup jelas bahwa \( (a - p) \) dan \( (b - p) \) adalah bilangan bulat. Dengan demikian ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat.

Perkalian dua buah bilangan bulat tidak nol

Jika salah satu dari \( (a - p) \) atau \( (b - p) \) bernilai nol, maka ruas kiri akan bernilai nol. Dengan demikian, \( (a - p) \) dan \( (b - p) \) pasti bilangan bulat tidak nol.

Perkalian dua buah bilangan bulat tidak negatif

Akan dibuktikan bahwa \( (a - p) \) dan \( (b - p) \) tidak negatif. Pembuktian akan diberikan melalui kontradiksi.

Asumsikan \( (a - p) \lt 0 \)

Maka:

\( \begin{align*} a - p &\lt 0 \\ \\ a &\lt p \\ \\ \dfrac{1}{a} &\gt \dfrac{1}{p} \\ \\ 0 &\gt \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{a} \\ \\ 0 &\gt \dfrac{1}{b} \\ \\ b &\lt 0 \end{align*} \)

Karena dari soal sudah diketahui bahwa \( b \) adalah sebuah bilangan bulat positif, maka terjadi kontradiksi antara hasil di atas dengan informasi yang diberikan di soal. Dengan demikian, asumsi \( (a - p) \lt 0 \) salah. \( (a - p) \) pasti tidak negatif. Dengan cara yang sama, bisa juga ditunjukkan bahwa \( (b - p) \) pasti tidak negatif.

Perkalian dua buah bilangan bulat positif

Dari dua hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa \( (a - p) \) dan \( (b - p) \) adalah bilangan bulat positif. Berarti ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat positif.

Ruas kanan, yaitu \( p^2 \), harus dinyatakan dalam perkalian dua buah bilangan bulat positif juga. Karena \( p \) adalah bilangan prima, maka hanya ada tiga cara menyatakan \( p^2 \) sebagai perkalian dua buah bilangan bulat positif:

\( \begin{align*} p^2 &= 1 \times p^2 \\ p^2 &= p \times p \\ p^2 &= p^2 \times 1 \end{align*} \)

Kemungkinan 1

\( a - p = 1 \) dan \( b - p = p^2 \)
Berarti \( a = p + 1 \) dan \( b = p(p+1) \)

Kemungkinan 2

\( a - p = p \) dan \( b - p = p \)
Berarti \( a = 2p \) dan \( b = 2p \)

Kemungkinan 3

\( a - p = p^2 \) dan \( b - p = 1 \)
Berarti \( a = p(p+1) \) dan \( b = p + 1 \)

Kesimpulan

Ada tiga pasangan \( (a, b) \) yang memenuhi, yaitu
\( a_1 = p + 1 \) dan \( b_1 = p(p + 1) \)
\( a_2 = 2p \) dan \( b_2 = 2p \)
\( a_3 = p(p + 1) \) dan \( b_3 = p + 1 \)

Contoh penyelesaian secara geometris diberikan di sini.