$a=6$ dan $c=4$

$a+a=c+c+c$
$2a=3c$
$2a+2c=5c$
$2(a+c)=5c$
$2\cdot 10=5c$
$20=5c$
$c=4$

Substitusi $c=4$ ke persamaan awal:

$a+c=10$
$a+4=10$
$a=6$

$a=24$ dan $b=12$

${\displaystyle \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=14}$

$2({\displaystyle \frac{a}{3}+\frac{b}{2})=2\cdot 14}$

${\displaystyle \frac{2}{3}a+b=28}$

$(a-{\displaystyle \frac{1}{3}a)+b=28}$

$a+b-{\displaystyle \frac{1}{3}a=28}$

Karena $a+b=36$ maka:

$36-{\displaystyle \frac{1}{3}a=28}$

$8={\displaystyle \frac{1}{3}a}$

$a=24$

Substitusi $a=24$ ke persamaan awal:

$a+b=36$
$24+b=36$
$b=12$

$a=2027$, $b=0$, $c=2026$

$(a+bc)-(ab+c)=2027-2026$

$(a-ab)+(bc-c)=1$

$a(1-b)+c(b-1)=1$

$a(1-b)-c(1-b)=1$

$(a-c)(1-b)=1$

Karena $a$, $b$ dan $c$ adalah bilangan asli, maka $(a-c)$ dan $(1-b)$ pasti juga bilangan asli. Karena bilangan asli tidak mungkin lebih kecil dari $1$ maka satu-satunya nilai yang mungkin bagi kedua ekspresi ini adalah $1$.

$1-b=1$
$b=0$

Substitusi $b=0$ ke dalam dua persamaan yang diberikan dan akan diperoleh:
$a=2027$
$c=2026$

Ada dua nilai yang mungkin:
$m+n=\mathrm{-7}$
$m+n=6$

$\begin{array}{cc}{m}^2+mn+n=14& \text{(1)}\\ n^2+mn+m=28& \text{(2)}\end{array}$

Jumlahkan persamaan $\text{(1)}$ dan $\text{(2)}$:

$m^2+n^2+2mn+m+n=42$
$=(m^2+n^2+2mn)+(m+n)=42$
$={(m+n)}^2+(m+n)=42$

Misalkan $m+n=a$ maka:

$a^2+a=42$
$=a^2+a-42=0$
$=(a+7)(a-6)=0$

Ada dua nilai $a$ yang memenuhi, yaitu $a=\mathrm{-7}$ dan $a=6$

Berarti ada dua nilai $m+n$ yang memenuhi, yaitu $m+n=\mathrm{-7}$ dan $m+n=6$

Ada tiga pasangan $(a,b)$ yang memenuhi: $(3,6)$, $(4,4)$, $(6,3)$

${\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}}$

${\displaystyle \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2}}$

$2(a+b)=ab$

$2a+2b=ab$

$ab-2a-2b=0$

Sampai disini rasanya masih mudah untuk diikuti. Sekarang, akan dijelaskan mengenai teknik melengkapi kuadrat. Sebagai alat bantu, persamaan di atas akan ditransformasikan ke geometri agar lebih mudah dipahami.

Misalkan ada sebuah segi empat dengan panjang $a$ dan lebar $b$ seperti di bawah. Tentu saja luas segi empat ini adalah $ab$

Kemudian, misalkan ada segi empat biru dengan panjang $2$ dan lebar $b$ berada di dalam segi empat tersebut. Tentu saja luas segi empat biru ini adalah $2b$.
Dan tentu saja luas segi empat yang diarsir adalah $ab-2b$.

Kemudian, misalkan ada segi empat hijau dengan panjang $a$ dan lebar $2$ berada di dalam segi empat tersebut. Tentu saja luas segi empat hijau ini adalah $2a$.
Perhatikan bahwa segi empat kecil dengan luas $4$, yang ada di pojok kiri bawah, dihitung dua kali. Karena segi empat ini dihitung dua kali, maka luas segi empat yang diarsir harus ditambahkan $4$ yaitu $ab-2a-2b+4$

Selain itu, luas segi empat yang diarsir boleh juga dinyatakan sebagai $(a-2)(b-2)$

Artinya, ada dua cara menyatakan luas segi empat yang diarsir, yaitu $ab-2a-2b+4$ dan $(a-2)(b-2)$

$ab-2a-2b+4=(a-2)(b-2)$
$ab-2a-2b=(a-2)(b-2)-4$

Melalui teknik melengkapi kuadrat dengan pendekatan geometri di atas, diperoleh fakta $ab-2a-2b=(a-2)(b-2)-4$

Sekarang kembali ke persamaan awal, yaitu
$ab-2a-2b=0$
$(a-2)(b-2)-4=0$
$(a-2)(b-2)=4$

Untuk menyelesaikan persamaan ini, diperlukan sedikit teori bilangan sebagai berikut.

Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, maka $(a-2)$ dan $(b-2)$ pasti bilangan bulat juga. Berarti ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat. Bagaimana dengan ruas kanan? Apakah $4$ bisa dinyatakan sebagai perkalian dua buah bilangan bulat? Bisa. Ada tiga kemungkinan:

$4=1\times 4$
$4=2\times 2$
$4=4\times 1$

Kemungkinan 1

$a-2=1$
$b-2=4$

Berarti $a=3$ dan $b=6$

Kemungkinan 2

$a-2=2$
$b-2=2$

Berarti $a=4$ dan $b=4$

Kemungkinan 3

$a-2=4$
$b-2=1$

Berarti $a=6$ dan $b=3$

Kesimpulan

Ada tiga pasangan $(a,b)$ yang memenuhi, yaitu $(3,6)$, $(4,4)$, $(6,3)$

Ada tiga pasangan $(a,b)$ yang memenuhi: $(6,30)$, $(10,10)$, $(30,6)$

${\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{5}}$

${\displaystyle \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{5}}$

$5(a+b)=ab$

$5a+5b=ab$

$ab-5a-5b=0$

Sampai disini rasanya masih mudah untuk diikuti. Sekarang, ada satu trik untuk memanipulasi persamaan di atas. Yaitu, dengan menambahkan kedua ruas dengan $5^2$. Penambahan dengan $5^2$ dilakukan agar ruas kiri bisa difaktorkan.

$ab-5a-5b+5^2=0+5^2$

$ab-5a-5b+25=25$

Sekarang ruas kiri bisa difaktorkan:

$(a-5)(b-5)=25$

Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, maka $(a-5)$ dan $(b-5)$ pasti bilangan bulat juga. Berarti ruas kiri adalah perkalian dua buah bilangan bulat. Bagaimana dengan ruas kanan? Apakah $25$ bisa dinyatakan sebagai perkalian dua buah bilangan bulat? Bisa. Ada tiga kemungkinan:

$25=1\times 25$
$25=5\times 5$
$25=25\times 1$

Kemungkinan 1

$a-5=1$
$b-5=25$

Berarti $a=6$ dan $b=30$

Kemungkinan 2

$a-5=5$
$b-5=5$

Berarti $a=10$ dan $b=10$

Kemungkinan 3

$a-5=25$
$b-5=1$

Berarti $a=26$ dan $b=1$

Kesimpulan

Ada tiga pasangan $(a,b)$ yang memenuhi, yaitu $(6,30)$, $(10,10)$, $(30,6)$