Semua \( x \) di rentang \( 1 \le x \le 5 \)

Ingat bahwa nilai mutlak adalah fungsi kondisional (conditional function) yang didefinisikan sebagai berikut:

\( \lvert x \rvert = \begin{cases} x & \text{jika } x \ge 0\\ \\ -x & \text{jika } x \lt 0 \end{cases} \)

Rentang untuk ekspresi pertama

\( \lvert x - 1 \rvert = \begin{cases} x - 1 & \text{jika } x - 1 \ge 0\\ \\ -(x - 1) & \text{jika } x - 1 \lt 0 \end{cases} \)

Dalam rentang \( x \ge 1 \) maka \( \lvert x - 1 \rvert = x - 1 \)
Dalam rentang \( x \lt 1 \) maka \( \lvert x - 1 \rvert = 1 - x \)

Rentang untuk ekspresi kedua

\( \lvert x - 5 \rvert = \begin{cases} x - 5 & \text{jika } x - 5 \ge 0\\ \\ -(x - 5) & \text{jika } x - 5 \lt 0 \end{cases} \)

Dalam rentang \( x \ge 5 \) maka \( \lvert x - 5 \rvert = x - 5 \)
Dalam rentang \( x \lt 5 \) maka \( \lvert x - 5 \rvert = 5 - x \)

Gabungan rentang

Rentang-rentang yang diberikan di atas akan digabungkan sebagai berikut:

1. Kasus \( x \ge 5 \)
2. Kasus \( 1 \le x \lt 5 \)
3. Kasus \( x \lt 1 \)

Kasus 1

Kasus \( x \ge 5 \)

Pada kasus ini:
\( \begin{align*} \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 5 \rvert &= 4\\ x - 1 + x - 5 &= 4\\ 2x - 6 &= 4\\ x &= 5 \end{align*} \)
Satu-satunya bilangan riil \( x \) di rentang \( x \ge 5 \) yang memenuhi adalah \( x = 5 \).

Kasus 2

Kasus \( 1 \le x \lt 5 \)

Pada kasus ini:
\( \begin{align*} \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 5 \rvert &= 4\\ x - 1 + 5 - x &= 4\\ 4 &= 4 \end{align*} \)
Semua bilangan riil \( x \) di rentang \( 1 \le x \lt 5 \) memenuhi.

Kasus 3

Kasus \( x \lt 1 \)

Pada kasus ini:
\( \begin{align*} \lvert x - 1 \rvert + \lvert x - 5 \rvert &= 4\\ 1 - x + 5 - x &= 4\\ 6 - 2x &= 4\\ x &= 1 \end{align*} \)
Nilai \( x = 1 \) ditolak karena tidak memenuhi rentang \( x \lt 1 \)

Kesimpulan

Setelah menggabungkan hasil-hasil yang ditemukan dari tiga kasus di atas, maka bisa disimpulkan bahwa bilangan riil \( x \) yang memenuhi adalah semua \( x \) di rentang \( 1 \le x \le 5 \)

Ada empat pasangan \( (x,y) \) yang memenuhi: \( (5, 2), (2, 5), (-5, -2), (-2, -5) \)

Persamaan pertama adalah nilai mutlak. Sebelum persamaan ini dioperasikan, tanda nilai mutlak harus dihilangkan terlebih dahulu. Bagaimana menghilangkan tanda nilai mutlak?

Ingat bahwa \( \lvert x \rvert \) adalah sebuah fungsi kondisional (conditional function). Secara formal didefinisikan sebagai berikut:

\( \lvert x \rvert = \begin{cases} x & \text{jika } x \ge 0\\ \\ -x & \text{jika } x \lt 0 \end{cases} \)

Ambil \( x = x + y \) dan diperoleh:

\( \lvert x + y \rvert = \begin{cases} x + y & \text{jika } x + y \ge 0\\ \\ -(x + y) & \text{jika } x + y \lt 0 \end{cases} \)

Dari definisi di atas, jelas terlihat ada dua kasus yang harus diperiksa, yaitu:

1. Kasus \( x + y \ge 0 \)
2. Kasus \( x + y \lt 0 \)

Kasus 1

Pada kasus \( x + y \ge 0 \) nilai \( \lvert x + y \rvert \) adalah \( x + y \)

\( \begin{align*} x + y &= 7\\ x &= 7 - y \end{align*} \)

\( \begin{align*} xy &= 10\\ (7 - y)y &= 10\\ 7y - y^2 - 10 &= 0\\ y^2 - 7y + 10 &= 0\\ (y - 2 )(y - 5) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua nilai \( y \) yang memenuhi persamaan di atas, yaitu \( y_1 = 2 \) dan \( y_2 = 5 \)
Dan tentu saja ada dua nilai \( x \) yang memenuhi persamaan di atas, yaitu \( x_1 = 5 \) dan \( x_2 = 2 \)
Berarti, dari kasus 1 diperoleh dua pasangan \( (x, y) \) yang memenuhi. Yaitu \( (2, 5) \) dan \( (5, 2) \)

Kasus 2

Pada kasus \( x + y \lt 0 \) nilai \( \lvert x + y \rvert \) adalah \( -(x + y) \)

\( \begin{align*} -(x + y) &= 7\\ x + y &= -7\\ x &= -7 - y\\ x &= -(7 + y) \end{align*} \)

\( \begin{align*} xy &= 10\\ -(7 + y)y &= 10\\ -7y - y^2 &= 10\\ y^2 + 7y + 10 &= 0\\ (y + 2)(y + 5) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua nilai \( y \) yang memenuhi persamaan di atas, yaitu \( y_1 = -2 \) dan \( y_2 = -5 \)
Dan tentu saja ada dua nilai \( x \) yang memenuhi persamaan di atas, yaitu \( x_1 = -5 \) dan \( x_2 = -2 \)
Berarti, dari kasus 2 diperoleh dua pasangan \( (x, y) \) yang memenuhi. Yaitu \( (-5, -2) \) dan \( (-2, -5) \)

Kesimpulan

Dari kedua kasus di atas, ada total empat pasangan \( (x, y) \) yang memenuhi. Yaitu \( (5, 2) \), \( (2, 5) \),\( (-5, -2) \), \( (-2, -5) \)