$3$

Sebelum memulai penjelasan, perhatikan bahwa sisi kiri terdiri dari dua buah fungsi akar. Karena fungsi akar selalu memberikan nilai non-negatif, maka sisi kiri pasti tidak negatif. Dengan demikian, sisi kanan haruslah suatu nilai yang tidak negatif juga. Dengan demikian, $x$ pasti suatu bilangan positif.

Soal ini terlalu rumit untuk dipecahkan melalui manipulasi aljabar. Teknik menyelesaikan soal semacam ini adalah dengan mentransformasikan soal ini ke dalam geometri.

Transformasi ke geometri

Misalkan ada sebuah segitiga siku-siku dengan tinggi $\sqrt{x}$ dan sisi miring (hipotenusa) ${\displaystyle \sqrt{\frac{12}{x}}}$

Tentu saja, dengan teorema Pythagoras, alas segitiga siku-siku ini dapat dengan mudah dicari. Yaitu ${\displaystyle \sqrt{\frac{12}{x}-x}}$

Sekarang, misalkan ada segitiga siku-siku kedua yang berimpit dengan segitiga siku-siku ini. Tinggi segitiga siku-siku kedua ini juga $\sqrt{x}$ tetapi panjang sisi miringnya adalah $\sqrt{12}$

Dan dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentu saja panjang alas segitiga siku-siku kedua adalah $\sqrt{12-x}$

Karena ${\displaystyle \sqrt{\frac{12}{x}-x}+\sqrt{12-x}=\frac{12}{x}}$

Maka panjang alas segitiga di atas adalah ${\displaystyle \frac{12}{x}}$

Karena alas dan tinggi segitiga di atas sudah diketahui, maka luasnya pun dapat dengan mudah dicari:

$L={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{12}{x}}\cdot \sqrt{x}$

$L={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}}}$

Karena luas segitiga sudah diketahui, sekarang akan dibuat sebuah hipotesa: segitiga besar di atas adalah segitiga siku-siku juga. Yaitu sudut yang diberi warna merah adalah $\mathrm{90°}$

Dalam hipotesa ini, panjang alas adalah ${\displaystyle \sqrt{\frac{12}{x}}}$ dan tinggi segitiga adalah $\sqrt{12}$

Jika hipotesa ini benar, maka luas segitiga siku-siku ini harus ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}}}$ juga.

$L={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{12}{x}}\cdot \sqrt{12}}$

$L={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{12}{\sqrt{x}}}$

$L={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}}}$

Ternyata luas segitiga siku-siku ini juga ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}}}$ berarti hipotesa benar: segitiga ini memang segitiga siku-siku.

Karena ini adalah segitiga siku-siku, maka teorema Pythagoras bisa diterapkan.

${\displaystyle {\left(\sqrt{\frac{12}{x}}\right)}^2+{\left(\sqrt{12}\right)}^2={\left(\frac{12}{x}\right)}^2}$

${\displaystyle \frac{12}{x}+12=\frac{144}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{1}{x}+1=\frac{12}{x^2}}$

$x+x^2=12$

$x^2+x-12=0$

$(x+4)(x-3)=0$

Karena $x>0$ maka satu-satunya nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=3$