\( 3 \)

Soal ini terlalu rumit untuk dipecahkan melalui operasi aljabar. Teknik menyelesaikan soal semacam ini adalah dengan mentransformasikan soal ini ke dalam geometri.

Sebelum mentransformasikan soal ini ke geometri, perhatikan bahwa sisi kiri terdiri dari dua buah fungsi akar. Karena fungsi akar selalu memberikan nilai non-negatif, maka sisi kiri pasti tidak negatif. Dengan demikian, sisi kanan haruslah suatu nilai yang tidak negatif juga. Dengan demikian, \( x \) pasti suatu bilangan positif.

Transformasi ke geometri

Misalkan ada sebuah segitiga siku-siku dengan tinggi \( \sqrt{x} \) dan sisi miring (hipotenusa) \( \sqrt{\dfrac{12}{x}} \)

Dari teorema Pythagoras, alas segitiga siku-siku ini dapat dengan mudah dicari. Yaitu \( \sqrt{ \dfrac{12}{x} - x} \)

Sekarang, misalkan ada segitiga siku-siku kedua yang berimpit dengan segitiga siku-siku ini. Tinggi segitiga siku-siku kedua ini juga \( \sqrt{x} \) tetapi panjang sisi miringnya adalah \( \sqrt{12} \)

Dari teorema Pythagoras, panjang alas segitiga siku-siku kedua adalah \( \sqrt{12 - x} \)

Karena \( \sqrt{ \dfrac{12}{x} - x } + \sqrt{ 12 - x} = \dfrac{12}{x} \)

Maka panjang alas segitiga di atas adalah \( \dfrac{12}{x} \)

Karena alas dan tinggi segitiga di atas sudah diketahui, maka luasnya pun dapat dengan mudah dicari:

\( \begin{align*} L &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{12}{x} \cdot \sqrt{x} \\\\ L &= \dfrac{6}{\sqrt{x}} \end{align*} \)

Karena luas segitiga sudah diketahui, sekarang akan dibuat sebuah hipotesa: segitiga besar di atas adalah segitiga siku-siku juga. Yaitu besar sudut merah adalah 90°

Dalam hipotesa ini, panjang alas adalah \( \sqrt{ \dfrac{12}{x} } \) dan tinggi segitiga adalah \( \sqrt{12} \)

Jika hipotesa ini benar, maka luas segitiga siku-siku ini harus \( \dfrac{6}{\sqrt{x}} \) juga.

\( \begin{align*} L &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{\dfrac{12}{x}} \cdot \sqrt{12} \\\\ L &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{12}{\sqrt{x}} \\\\ L &= \dfrac{6}{\sqrt{x}} \end{align*} \)

Ternyata luas segitiga siku-siku ini juga \( \dfrac{6}{\sqrt{x}} \) berarti hipotesa benar: segitiga ini memang segitiga siku-siku.

Karena ini adalah segitiga siku-siku, maka teorema Pythagoras bisa diterapkan.

\( \begin{align*} { \left( \sqrt{ \dfrac{12}{x} } \right) }^2 + {(\sqrt{12})}^2 &= {\left( \dfrac{12}{x} \right) }^2 \\\\ \dfrac{12}{x} + 12 &= \dfrac{144}{x^2} \\\\ \dfrac{1}{x} + 1 &= \dfrac{12}{x^2} \\\\ x + x^2 &= 12 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \end{align*} \)

Karena \( x \gt 0 \) maka satu-satunya nilai \( x \) yang memenuhi adalah \( x = 3 \)

\( 10 \)

Karena \( a \), \( b \) dan \( c \) adalah bilangan riil positif, maka soal ini bisa ditransformasikan ke dalam geometri.

Perhatikan gambar di bawah ini:

Secara geometris, \( \sqrt{a^2 + 1} + \sqrt{b^2 + 4} + \sqrt{c^2 + 9} \) bermakna total panjang garis biru. Secara vektor, panjang garis biru bermakna jarak yang ditempuh dari titik \( X \) ke \( Y \).

Agar jarak yang ditempuh dari titik \( X \) ke \( Y \) minimum, maka garisnya harus berupa garis lurus seperti garis merah pada gambar.

Agar garisnya berupa garis lurus seperti pada gambar, tiga buah segitiga siku-siku yang ada pada gambar haruslah segitiga sebangun. Karena rasio tinggi segitiga adalah \( 1:2:3 \), maka, agar ketiga siku-siku menjadi sebangun, rasio alas pun harus diubah menjadi \( 1:2:3 \)

Gambar di bawah ini adalah gambar yang sudah diubah sedemikian sehingga rasio alas adalah \( 1:2:3 \)

Sekarang garis biru sudah berupa garis lurus. Terbukti karena garis biru sudah berimpit dengan garis merah. Artinya garis biru sudah mewakili jarak minimum dari titik \( X \) ke titik \( Y \).

Kemudian, untuk mencari panjang garis biru, cukup dengan membuat segitiga siku-siku besar seperti pada gambar di bawah ini:

Dari gambar, jelas terlihat bahwa tinggi segitiga siku-siku adalah \( 6 \) dan panjang alas segitiga siku-siku adalah \( 8 \). Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang garis biru adalah \( 10 \).

Kesimpulan

Nilai minimum \( \sqrt{a^2 + 1} + \sqrt{b^2 + 4} + \sqrt{c^2 + 9} \) adalah \( 10 \).