\( 8 \)

Akan diberikan dua buah teknik untuk menyelesaikan soal ini.

Teknik 1

Karena \( 2^7 = 128 \), maka \( 127 = 2^7 - 1\)

Akibatnya:
\( \begin{align*} 2^7 - 1 &= {(2^7 - 1)}^2 - 1 \\ &= 2^{14} - 2.2^7 + 1 - 1 \\ &= 2^{14} - 2^8 \\ &= 2^{8}(2^6 - 1) \end{align*} \)

Karena \( 2^6 \) adalah bilangan genap, maka \( 2^6 - 1 \) pasti bilangan ganjil. Karena \( 2^6 - 1 \) adalah bilangan ganjil, maka pasti \( 2^6 - 1 \) tidak habis dibagi \( 2 \). Dengan demikian nilai \( n \) terbesar yang mungkin adalah \( 8 \).

Teknik 2

\( \begin{align*} {127}^2 - 1 &= (127 - 1) \cdot (127 + 1) \\ &= 126 \cdot 128 \\ &= 2 \cdot 63 \cdot 2^7 \\ &= 63 \cdot 2^8 \end{align*} \)

Karena \( 63 \) tidak habis dibagi \( 2 \), maka nilai \( n \) terbesar yang mungkin adalah \( 8 \).

\( (a, b, c) = \{ (7, 4, 2) \} \)

Misalkan:
\( b = c + m \)
\( a = c + m + n \)
dimana \( m, n \in \mathbb{N} \)

Akibatnya:
\( \begin{align*} 2^a + 2^b + 2^c &= 148 \\ 2^{c + m + n} + 2^{c + m} + 2^c &= 148 \\ 2^c \cdot (2^{m + n} + 2^{m} + 1) &= 148 \\ \end{align*} \)

Karena \( 2^c \) adalah bilangan genap dan \( 2^{m + n} + 2^{m} + 1 \) adalah bilangan ganjil, berarti ruas kiri adalah perkalian antara bilangan genap dan ganjil.

Apakah \( 148 \) bisa dinyatakan sebagai perkalian bilangan genap dan ganjil? Bisa. Ada dua cara menuliskan \( 148 \) sebagai perkalian bilangan genap dan ganjil:

• \( 148 = 1 \cdot 148 \)
• \( 148 = 4 \cdot 37 \)

Kasus \( 148 = 1 \cdot 148 \) tidak memenuhi karena \( 2^{m + n} + 2^{m} + 1 \) pasti lebih besar dari \( 1 \).

Kasus \( 148 = 4 \cdot 37 \) memenuhi, yaitu:
\( \begin{align*} 2^c &= 4 \\ 2^{m + n} + 2^{m} + 1 &= 37 \end{align*} \)

Dari persamaan di atas, cukup jelas bahwa \( c = 2 \).
Selanjutnya:

\( \begin{align*} 2^{m + n} + 2^{m} + 1 &= 37 \\ 2^{m + n} + 2^{m} &= 36 \\ 2^m \cdot (2^n + 1) &= 36 \end{align*} \)

Sama seperti sebelumnya, ruas kiri adalah perkalian antara bilangan genap dan bilangan ganjil.

Apakah \( 36 \) bisa dinyatakan sebagai perkalian bilangan genap dan ganjil? Bisa. Ada tiga cara menuliskan \( 36 \) sebagai perkalian bilangan genap dan ganjil:

• \( 36 = 1 \cdot 36 \)
• \( 36 = 3 \cdot 12 \)
• \( 36 = 4 \cdot 9 \)

Kasus \( 36 = 1 \cdot 36 \) tidak memenuhi karena \( 2^n + 1 \) pasti lebih besar dari \( 1 \).

Kasus \( 36 = 3 \cdot 12 \) tidak memenuhi karena tidak ada bilangan asli \( m \) yang memenuhi \( 2^m = 12 \).

Kasus \( 36 = 4 \cdot 9 \) memenuhi, yaitu:
\( \begin{align*} 2^m &= 4 \\ 2^n + 1 &= 9 \end{align*} \)

Cukup mudah untuk mencari nilai \( m \) dan \( n \) yang memenuhi persamaan di atas, yaitu \( m = 2 \) dan \( n = 3 \).

Dengan demikian:
\( c = 2 \)
\( b = 4 \)
\( a = 7 \)

\( \begin{align*} n^2 - 9n + 20 &= (n^2 - n) - 8n + 20 \\ &= n(n - 1) - 8n + 20 \end{align*} \)

Perhatikan persamaan \( n(n - 1) - 8n + 20 \).
Ada tiga komponen penyusun persamaan ini, yaitu:
Komponen 1: \( n(n - 1) \)
Komponen 2: \( -8n \)
Komponen 3: \( 20 \)

Karena \( n \) dan \( n - 1 \) adalah dua buah bilangan bulat yang berurutan, maka pasti salah satunya genap. Karena salah satunya genap, maka \( n(n - 1) \) pasti bernilai genap juga.

Cukup jelas bahwa \( 20 \) adalah bilangan genap. Begitu juga dengan \( -8n \). Jelas sekali \( -8n \) pasti habis dibagi \( 2 \).

Karena ketiga komponen penyusun \( n(n - 1) - 8n + 20 \) adalah bilangan genap, maka \( n(n - 1) - 8n + 20 \) pun pasti bilangan genap. Dengan demikian, \( n^2 - 9n + 20 \) pasti bilangan genap.

\( \{ 0, 1, 3, 5, 6, 8 \} \)

Misalkan \( S(k) = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + k \)

Untuk mencari digit terakhir \( S(k) \) sama dengan nilai \( S(k) \) dalam modulo \( 10 \). Agar jelas terlihat bahwa digit terakhir akan berulang setelah \( 20 \) kali, tabel pencarian di bawah ini dimulai dari \( 0 \).

Karena digit terakhir \( S(19) \) adalah \( 0 \), maka digit terakhir \( S(20) \) pasti \( 0 \) juga dan siklus berulang.

Dari tabel di atas, jelas terlihat bahwa digit terakhir yang mungkin adalah \( \{ 0, 1, 3, 5, 6, 8 \} \)

\( 0 \)

Jika suatu bilangan bulat \( n \) habis dibagi \( 33 \), maka \( n \) pasti habis dibagi \( 3 \) dan \( 11 \). Jika suatu bilangan bulat \( n \) habis dibagi \( 3 \), maka jumlah digit-digit \( n \) habis dibagi \( 3 \). Jika suatu bilangan bulat \( n \) habis dibagi \( 11 \), maka selisih digit-digit pada posisi ganjil dari \( n \) dan digit-digit pada posisi genap dari \( n \) habis dibagi \( 11 \).

Jumlah digit-digit dari \( 472754601a \) adalah:
\( 4 + 7 + 2 + 7 + 5 + 4 + 6 + 0 + 1 + a = 36 + a \)

Karena \( 36 \) sudah habis dibagi \( 3 \), maka, agar \( 36 + a \) habis dibagi \( 3 \), maka \( a \) harus habis dibagi \( 3 \).

Jumlah digit-digit pada posisi ganjil dari \( 472754601a \) adalah:
\( 4 + 2 + 5 + 6 + 1 = 18 \)

Jumlah digit-digit pada posisi genap dari \( 472754601a \) adalah:
\( 7 + 7 + 4 + 0 + a = 18 + a \)

Selisih dari digit-digit pada posisi ganjil dan digit-digit pada posisi genap adalah:
\( 18 - (18 + a) = -a \).

Karena \( -a \) harus habis dibagi \( 3 \) dan \( 11 \) dimana \( 0 \le a \le 9 \), maka satu-satunya nilai \( a \) yang mungkin adalah \( 0 \).

\( 6 \)

Dasar teori: sisa pembagian bilangan bulat \( n \) oleh \( 9 \) sama dengan sisa pembagian jumlah digit-digit \( n \) oleh \( 9 \).

Jumlah digit-digit \( 2026 \) adalah \( 2 + 0 + 2 + 6 = 10 \)
Jumlah digit-digit \( 10 \) adalah \( 1 + 0 = 1 \)
Artinya, sisa pembagian \( 2026 \) oleh \( 9 \) adalah \( 1 \).
Secara formal: \( 2026 \equiv 1 \pmod{9} \)

Jumlah digit-digit \( 2027 \) adalah \( 2 + 0 + 2 + 7 = 11 \)
Jumlah digit-digit \( 11 \) adalah \( 1 + 1 = 2 \)
Artinya, sisa pembagian \( 2027 \) oleh \( 9 \) adalah \( 2 \)
Secara formal: \( 2027 \equiv 2 \pmod{9} \)

Jumlah digit-digit \( 2028 \) adalah \( 2 + 0 + 2 + 8 = 12 \)
Jumlah digit-digit \( 12 \) adalah \( 1 + 2 = 3 \)
Artinya, sisa pembagian \( 2028 \) oleh \( 9 \) adalah \( 3 \)
Secara formal: \( 2028 \equiv 3 \pmod{9} \)

\( \begin{align*} 2026 \times 2027 \times 2028 &\equiv 1 \times 2 \times 3 \pmod{9} \\ &\equiv 6 \pmod{9} \end{align*} \)

\( 2 \)

\( 8^1 \equiv 8 \pmod{10} \)
\( 8^2 \equiv 4 \pmod{10} \)
\( 8^3 \equiv 2 \pmod{10} \)
\( 8^4 \equiv 6 \pmod{10} \)
\( 8^5 \equiv 8 \pmod{10} \)
\( \cdots \)

Dari daftar di atas, digit terakhir dari \( 8^n \) adalah \( \{ 8, 4, 2, 6\} \) dimana \( n \in \mathbb{N} \). Secara umum:
\( 8^{4n + 1} \equiv 8 \pmod{10} \)
\( 8^{4n + 2} \equiv 4 \pmod{10} \)
\( 8^{4n + 3} \equiv 2 \pmod{10} \)
\( 8^{4n + 4} \equiv 6 \pmod{10} \)
dimana \( n \ge 0 \) dan \( n \in \mathbb{Z} \)

Sekarang, karena \( 947 = 944 + 3 \), maka digit terakhir dari \( 8^{947} \) sama dengan digit terakhir dari \( 8^{4n + 3} \), yaitu \( 2 \).

\( 3 \)

Sebelum mencari digit terakhir dari \( {2023}^{2023} + {2024}^{2024} \), maka digit terakhir dari dua komponen penyusunnya harus dicari dulu.

Komponen 1

Mencari digit terakhir dari \( {2023}^{2023} \)

Cukup jelas bahwa \( 2023 \equiv 3 \pmod{10} \)
Kemudian, karena \( 3^4 = 81 \), maka \( 3^4 \equiv 1 \pmod{10} \)
Kemudian, karena \( 2020 \) habis dibagi \( 4 \), maka \( 3^{2020} \equiv 1 \pmod{10} \)
Akibatnya, \( 3^{2023} \equiv 3^3 \pmod{10} \equiv 7 \pmod{10} \)
Berarti digit terakhir dari \( {2023}^{2023} \) adalah \( 7 \).

Komponen 2

Mencari digit terakhir dari \( {2024}^{2024} \)

Cukup jelas bahwa \( 2024 \equiv 4 \pmod{10} \)
Kemudian, karena \( 4^2 = 16 \), maka \( 4^2 \equiv 6 \pmod{10} \)
Kemudian, karena \( 2024 \) habis dibagi \( 2 \), maka \( 4^{2024} \equiv 6 \pmod{10} \)
Berarti digit terakhir dari \( {2024}^{2024} \) adalah \( 6 \).

Kesimpulan

Setelah menggabungkan kedua digit terakhir, maka bisa disimpulkan bahwa digit terakhir dari \( {2023}^{2023} + {2024}^{2024} \) adalah \( 3 \).

Pembuktian akan dilakukan dengan cara sebagai berikut:

1. Mencari sisa bagi komponen 1, yaitu sisa bagi \( {2222}^{5555} \) oleh \(7 \)
2. Mencari sisa bagi komponen 2, yaitu sisa bagi \( {5555}^{2222} \) oleh \(7 \)
3. Menjumlahkan sisa bagi kedua komponen. Jika total kedua sisa bagi ini habis dibagi \( 7 \), maka memang betul bahwa \( {2222}^{5555} + {5555}^{2222} \) habis dibagi \( 7 \).

Mencari sisa bagi komponen 1

Karena \( 2222 = 7 \cdot 317 + 3 \), maka \( 2222 \equiv 3 \pmod{7} \).
Karena \( 27 \equiv -1 \pmod{7} \), maka \( 3^3 \equiv -1 \pmod{7} \).
Karena \( 3^3 \equiv -1 \pmod{7} \), maka:
\( \begin{align*} (3^3)^{1850} &\equiv (-1)^{1850} \pmod{7} \\ 3^{5550} &\equiv 1 \pmod{7} \\ 3^{5550} \cdot 3^5 &\equiv 3^5 \pmod{7} \\ 3^{5555} &\equiv 243 \pmod{7} \\ 3^{5555} &\equiv 5 \pmod{7} \end{align*} \)

Mencari sisa bagi komponen 2

Karena \( 5555 = 7 \cdot 793 + 4 \), maka \( 5555 \equiv 4 \pmod{7} \).
Karena \( 64 \equiv 1 \pmod{7} \), maka \( 4^3 \equiv 1 \pmod{7} \).
Karena \( 4^3 \equiv 1 \pmod{7} \), maka:
\( \begin{align*} (4^3)^{740} &\equiv 1^{740} \pmod{7} \\ 4^{2220} &\equiv 1 \pmod{7} \\ 4^{2220} \cdot 4^2 &\equiv 4^2 \pmod{7} \\ 4^{2222} &\equiv 16 \pmod{7} \\ 4^{2222} &\equiv 2 \pmod{7} \end{align*} \)

Menjumlahkan sisa bagi kedua komponen

Karena sisa bagi komponen 1 adalah \( 5 \) dan sisa bagi komponen 2 adalah \( 2 \), maka jelas sekali bahwa total sisa bagi habis dibagi \( 7 \). Jadi memang betul, ekspresi \( {2222}^{5555} + {5555}^{2222} \) habis dibagi \( 7 \).

\( 14 \)

\( \begin{align*} v_3(32!) &= \displaystyle \sum \limits_{i = 1}^{\infty} { \left\lfloor \dfrac{32}{3^i} \right\rfloor } \\\\ &= \left\lfloor \dfrac{32}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{32}{9} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{32}{27} \right\rfloor \\\\ &= 10 + 3 + 1 \\\\ &= 14 \end{align*} \)