Pembuktian akan dibagi ke tiga kasus.

Kasus 1:

Kasus $n=3p$
Jika $n=3p$ maka $n^2=9p^2$

Sangat jelas $9p^2\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)$

Kasus 2:

Kasus $n=3p+1$
Jika $n=3p+1$ maka $n^2=9p^2+6p+1$

Sangat jelas $9p^2+6p+1\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$

Kasus 3:

Kasus $n=3p+2$
Jika $n=3p+2$ maka
$n^2=9p^2+12p+4$
$n^2=9p^2+12p+3+1$

Sangat jelas $9p^2+12p+3+1\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$

Kesimpulan

Jika $n$ adalah bilangan kelipatan 3, maka sisa pembagian $n^2$ oleh 3 adalah 0
Jika $n$ bukan bilangan kelipatan 3, maka sisa pembagian $n^2$ oleh 3 adalah 1

Secara formal:

$n^2\equiv \{\begin{array}{cc}0\left(\mathrm{mod}3\right)& \text{jika}n\text{kelipatan 3}\\ 1\left(\mathrm{mod}3\right)& \text{jika}n\text{bukan kelipatan 3}\end{array}$