Sisa Pembagian Kuadrat Sempurna Oleh 4
Buktikan bahwa sisa pembagian bilangan kuadrat sempurna oleh 4 selalu 0 atau 1.
Bilangan kuadrat sempurna adalah {1, 4, 9, 16, ...}
Secara formal:
Buktikan bahwa \( n^2 \equiv 0 \pmod{4} \) atau \( n^2 \equiv 1 \pmod{4} \) untuk semua \( n \in \mathbb{Z} \)
bukti
Pembuktian akan dibagi ke dua kasus: bilangan genap dan bilangan ganjil.
Kasus 1: bilangan genap
Jika \( n = 2p \) maka \( n^2 = 4p^2 \)
Sangat jelas \( 4p^2 \equiv 0 \pmod{4} \)
Kasus 2: bilangan ganjil
Jika \( n = 2p + 1 \) maka \( n^2 = 4p^2 + 4p + 1 \)
Sangat jelas \( 4p^2 + 4p + 1 \equiv 1 \pmod{4} \)
Kesimpulan
Jika \( n \) adalah bilangan genap, maka sisa pembagian \( n^2 \) oleh 4 adalah 0
Jika \( n \) adalah bilangan ganjil, maka sisa pembagian \( n^2 \) oleh 4 adalah 1
Secara formal:
\( n^2 \equiv \begin{cases} 0 \pmod{4} & \text{jika } n \text{ genap} \\ 1 \pmod{4} & \text{jika } n \text{ ganjil} \end{cases} \)