Hendra Jaya Napitupulu | Sisa Pembagian Kuadrat Sempurna Oleh 4

Sisa Pembagian Kuadrat Sempurna Oleh 4

Buktikan bahwa sisa pembagian bilangan kuadrat sempurna oleh 4 selalu 0 atau 1.
Bilangan kuadrat sempurna adalah {1,4,9,16,...}

Secara formal:

Buktikan bahwa $n^{2} \equiv 0 (\mod 4)$ atau $n^{2} \equiv 1 (\mod 4)$ untuk semua $n \in ℕ$

bukti

Pembuktian akan dibagi ke dua kasus: bilangan genap dan bilangan ganjil.

Kasus 1: bilangan genap

Jika $n = 2 p$ maka $n^{2} = 4 p^{2}$

Sangat jelas $4 p^{2} \equiv 0 (\mod 4)$

Kasus 2: bilangan ganjil

Jika $n = 2 p + 1$ maka $n^{2} = 4 p^{2} + 4 p + 1$

Sangat jelas $4 p^{2} + 4 p + 1 \equiv 1 (\mod 4)$

Kesimpulan

Jika $n$ adalah bilangan genap, maka sisa pembagian $n^{2}$ oleh 4 adalah 0
Jika $n$ adalah bilangan ganjil, maka sisa pembagian $n^{2}$ oleh 4 adalah 1

Secara formal:

$n^{2} \equiv {\begin{matrix} 0 (\mod 4) & jika n genap \\ 1 (\mod 4) & jika n ganjil \end{matrix}$