Dasar teori

Untuk setiap bilangan bulat \( a \) dan \( b \) tidak nol, ekspresi \( \dfrac{a}{b} \) sudah tidak bisa disederhanakan lagi jika dan hanya jika \( a \) dan \( b \) tidak mempunyai faktor persekutuan.

Secara formal:
Untuk setiap bilangan bulat \( a \) dan \( b \) tidak nol, ekspresi \( \dfrac{a}{b} \) sudah tidak bisa disederhanakan lagi jika dan hanya jika \( \gcd(a,b)=1 \)

Tujuan pembuktian

Karena \( n\in\mathbb{N} \), maka \( 21n+4 \) dan \( 14n+3 \) pasti tidak nol.

Dengan demikian, untuk membuktikan bahwa \( \dfrac{21n+4}{14n+3} \) tidak bisa disederhanakan lagi cukup dengan membuktikan bahwa \( \gcd(21n+4,14n+3)=1 \).

Berikut disajikan beberapa teknik untuk membuktikannya.

Teknik 1: Algoritma Euclid

\( 21n+4 = (14n+3) \cdot 1 + (7n+1) \)
Karena \( n \in \mathbb{N} \), maka \( 0 \lt 7n+1 \lt 14n+3 \) dan pembagian Euclid di atas sah.

\( 14n+3 = (7n+1) \cdot 2 + 1 \)
Karena \( n \in \mathbb{N} \), maka \( 1 \lt 7n+1 \) dan pembagian Euclid di atas sah.

Dan akhirnya:
\( 7n+1 = 1 \cdot (7n+1) + 0 \)

Dari rentetan pembagian Euclid di atas, diperoleh rantai GCD sebagai berikut:
\( \gcd(21n+4,14n+3) \)
\( =\gcd(14n+3,7n+1) \)
\( =\gcd(7n+1,1) \)
\( =\gcd(1,0) \)
\( =1 \)

Algoritma Euclid bisa dipelajari lebih dalam di sini

Teknik 2: Sifat-sifat GCD

Sifat GCD yang akan digunakan adalah:

1. Sifat \( \gcd(a+kb,b)=\gcd(a,b) \)    bukti
2. Sifat \( \gcd(a,b)=\gcd(b,a) \)    bukti
3. Sifat \( \gcd(a,0)=\lvert a \rvert \)    bukti

\( \gcd(21n+1,14n+3) \)
\( =\gcd( (7n+1) + 1 \cdot (14n+3),(14n+3) ) \)
\( =\gcd(7n+1,14n+3) \)
\( =\gcd(14n+3,7n+1) \)
\( =\gcd(1 + 2 \cdot (7n+1),7n+1) \)
\( =\gcd(1,7n+1) \)
\( =\gcd(7n+1,1) \)
\( =\gcd(0 + (7n+1) \cdot 1,1) \)
\( =\gcd(0,1) \)
\( =\gcd(1,0) \)
\( =1 \)

Teknik 3: Teorema Bézout

Karena \( 3 \cdot (14n+3) - 2 \cdot (21n+4) = 1 \) maka \( \gcd(21n+4,14n+3)=1 \)
Teorema Bézout bisa dipelajari lebih dalam di sini.

Karena di dalam soal diberikan aturan bahwa fungsi akar hanya boleh menerima bilangan tidak negatif, maka ada batasan yang harus dipatuhi (constraint).

Konstrain

\( \begin{align*} 2x-1 &\ge 0\\ x &\ge \dfrac{1}{2} \end{align*} \)

Menyederhanakan

\( \sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} \)

\( = \sqrt{ \dfrac{2x + 2\sqrt{2x - 1}}{2}} + \sqrt{ \dfrac{2x - 2\sqrt{2x - 1}}{2}} \)

\( = \sqrt{ \dfrac{(2x - 1) + 2\sqrt{2x - 1}+1}{2}} + \sqrt{ \dfrac{(2x - 1) - 2\sqrt{2x - 1}+1}{2}} \)

\( = \sqrt{ \dfrac{ {(\sqrt{2x-1}+1)}^2 } {2}} + \sqrt{ \dfrac{ {(\sqrt{2x-1}-1)}^2 } {2}} \)

Perhatikan bahwa:
\( \sqrt{2x-1}+1 \) pasti positif.
\( \sqrt{2x-1}-1 \) belum tentu positif.

Oleh karena itu:

\( \sqrt{ \dfrac{{(\sqrt{2x-1}+1)}^2} {2}} + \sqrt{ \dfrac{{(\sqrt{2x-1}-1)}^2} {2}} \)

\( = \dfrac{ (\sqrt{2x-1}+1) + \lvert \sqrt{2x-1}-1 \rvert }{\sqrt{2}} \)

Menyelesaikan nilai mutlak (1)

Kasus 1: \( \sqrt{2x-1} - 1 \ge 0 \)

Batasan kasus ini:
\( \begin{align*} \sqrt{2x-1}-1 &\ge 0\\ \sqrt{2x-1} &\ge 1\\ 2x-1 &\ge 1\\ x &\ge 1 \end{align*} \)

Pada kasus ini \( \lvert \sqrt{2x-1}-1 \rvert = \sqrt{2x-1}-1 \)

Sehingga:

\( \dfrac{ (\sqrt{2x-1}+1) + \lvert \sqrt{2x-1}-1 \rvert }{\sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{ \sqrt{2x-1}+1 + \sqrt{2x-1}-1 }{\sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{ 2\sqrt{2x-1} }{\sqrt{2}} \)

\( =\sqrt{2} \cdot \sqrt{2x-1} \)

Soal (a):
\( \begin{align*} \sqrt{2} &= \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x-1}\\ 1 &= \sqrt{2x-1}\\ 1 &= 2x-1\\ x &= 1 \end{align*} \)

Soal (b):
\( \begin{align*} 1 &= \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x-1}\\ 1 &= 2(2x-1)\\ 1 &= 4x-2\\ x &= \dfrac{3}{4} \end{align*} \)

Nilai \( x = \dfrac{3}{4} \) ditolak karena tidak memenuhi batasan \( x \ge 1 \)

Soal (c):
\( \begin{align*} 2 &= \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x-1}\\ \sqrt{2} &= \sqrt{2x-1}\\ 2 &= 2x-1\\ x &= \dfrac{3}{2} \end{align*} \)

Menyelesaikan nilai mutlak (2)

Kasus 2: \( \sqrt{2x-1} - 1 \lt 0 \)

Batasan kasus ini:
\( \begin{align*} \sqrt{2x-1}-1 &\lt 0\\ \sqrt{2x-1} &\lt 1\\ 2x-1 &\lt 1\\ x &\lt 1 \end{align*} \)
Karena di awal sudah ditemukan konstrain \( x \ge \dfrac{1}{2} \) maka, jika digabungkan, konstrain yang harus dipenuhi adalah \( \dfrac{1}{2} \le x \lt 1 \)

Pada kasus ini \( \lvert \sqrt{2x-1}-1 \rvert = 1 - \sqrt{2x-1} \)

Sehingga:

\( \dfrac{ (\sqrt{2x-1}+1) + \lvert \sqrt{2x-1}-1 \rvert }{\sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{ \sqrt{2x-1}+1 + 1-\sqrt{2x-1} }{\sqrt{2}} \)

\( =\dfrac{2}{\sqrt{2}} \)

\( =\sqrt{2} \)

Ternyata, pada rentang \( \dfrac{1}{2} \le x \lt 1 \) nilai yang diperoleh adalah sebuah konstanta, yaitu \( \sqrt{2} \).

Soal (a): semua nilai \( x \) pada rentang \( \dfrac{1}{2} \le x \lt 1 \) memenuhi.

Soal (b): tidak ada \( x \) pada rentang \( \dfrac{1}{2} \le x \lt 1 \) yang memenuhi.

Soal (c): tidak ada \( x \) pada rentang \( \dfrac{1}{2} \le x \lt 1 \) yang memenuhi.

Kesimpulan

Setelah menggabungkan kedua kasus di atas:

Bilangan riil \( x \) yang memenuhi \( \sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = \sqrt{2} \) adalah semua \( x \) pada rentang \( \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \)

Tidak ada bilangan riil \( x \) yang memenuhi \( \sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = 1 \)

Bilangan riil \( x \) yang memenuhi \( \sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = 2 \) adalah \( x = \dfrac{3}{2} \)