Dasar teori

Untuk setiap bilangan bulat $a$ dan $b$ tidak nol, ekspresi ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ sudah tidak bisa disederhanakan lagi jika dan hanya jika $a$ dan $b$ tidak mempunyai faktor persekutuan.

Secara formal:
Untuk setiap bilangan bulat $a$ dan $b$ tidak nol, ekspresi ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ sudah tidak bisa disederhanakan lagi jika dan hanya jika $\gcd (a,b)=1$

Tujuan pembuktian

Karena $n\in \mathbb{N}$, maka $21n+4$ dan $14n+3$ pasti tidak nol.

Dengan demikian, untuk membuktikan bahwa ${\displaystyle \frac{21n+4}{14n+3}}$ tidak bisa disederhanakan lagi cukup dengan membuktikan bahwa $\gcd (21n+4,14n+3)=1$.

Berikut disajikan dua buah teknik untuk membuktikannya.

Teknik 1: Pembagian Euclid

$21n+4=(14n+3)\cdot 1+(7n+1)$
$14n+3=(7n+1)\cdot 2+1$
$7n+1=1\cdot (7n+1)+0$

Dari pembagian Euclid di atas:
$\gcd (21n+4,14n+3)$
$=\gcd (14n+3,7n+1)$
$=\gcd (7n+1,1)$
$=\gcd (1,0)$
$=1$

Teknik 2: Sifat-sifat GCD

Sifat GCD yang akan digunakan adalah:

1. Sifat $\gcd (a+kb,b)=\gcd (a,b)$    bukti
2. Sifat $\gcd (a,b)=\gcd (b,a)$    bukti
3. Sifat $\gcd (a,0)=\mathrm{|a|}$    bukti

$\gcd (21n+4,14n+3)$
$=\gcd \left[\right(7n+1)+1\cdot (14n+3),(14n+3\left)\right]$
$=\gcd (7n+1,14n+3)$
$=\gcd (14n+3,7n+1)$
$=\gcd [1+2\cdot (7n+1),(7n+1\left)\right]$
$=\gcd (1,7n+1)$
$=\gcd (7n+1,1)$
$=\gcd [0+(7n+1)\cdot 1,1]$
$=\gcd (0,1)$
$=\gcd (1,0)$
$=1$