\( f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1} \)

Sebetulnya ada dua cara menyelesaikan soal ini. Cara yang pertama menggunakan intuisi matematika dan manipulasi aljabar dan cara yang kedua menggunakan teknik inverse. Penjelasan yang diberikan menggunakan intuisi matematika dan manipulasi aljabar karena lebih singkat.

Misalkan \( a = x + 3 \) dan \( b = x - 3 \)

Cukup jelas bahwa:

\( f \left( \dfrac{a}{b} \right) = \dfrac{a^2}{12x} \)

Karena di dalam fungsi sudah ada \( a^2 \) tapi belum ada \( b^2 \), maka \( 12x \) perlu dinyatakan dalam \( a^2 \) dan \( b^2 \)

\( 12x = {(x + 3)}^2 - {(x - 3)}^2 \)
\( 12x = a^2 - b^2 \)

\( f \left( \dfrac{a}{b} \right) = \dfrac{a^2}{a^2 - b^2} \)

Fungsi sudah terlihat dalam \( a \) dan \( b \) tetap masih belum dalam bentuk \( \dfrac{a}{b} \)

Agar terlihat dalam \( \dfrac{a}{b} \), bagi pembilang dan penyebut dengan \( b^2 \)

\( \begin{align*} f \left( \dfrac{a}{b} \right) &= \dfrac{ \dfrac{a^2}{b^2} }{ \dfrac{a^2}{b^2} - 1}\\\\ f \left( \dfrac{a}{b} \right) &= \dfrac{ { \left( \dfrac{a}{b} \right) }^2 }{ { \left( \dfrac{a}{b} \right) }^2 - 1}\\\\ f(x) &= \dfrac{x^2}{x^2 - 1} \end{align*} \)

\( 2020 \)

\( \begin{align*} f(x) &= x^3 - 2022x^2 + 2022x - 1\\ f(x) &= (x^3 - 2022x^2 + 2021x) + (x - 1)\\ f(x) &= x(x^2 - 2022x + 2021) + (x - 1)\\ f(x) &= x(x - 1)(x - 2021) + (x - 1)\\ f(2021) &= 2020 \end{align*} \)

\( 0 \)

Dari soal diketahui:
\( \begin{align*} f(n) &= 0\\ n^2 + n + 1 &= 0 \end{align*} \)

Dan nilai yang ingin dicari adalah:
\( f(n^2) = n^4 + n^2 + 1 \)

Untuk menyelesaikan soal, perlu dicari hubungan antara \( n^2 + n + 1 \) dan \( n^4 + n^2 + 1 \)

Cara 1: Identitas aljabar

Sebagian pembaca mungkin sudah pernah melihat identitas aljabar berikut ini:
\( \begin{align*} n^4 + n^2 + 1 &= (n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)\\ n^4 + n^2 + 1 &= 0 \cdot (n^2 - n + 1)\\ n^4 + n^2 + 1 &= 0\\ f(n^2) &= 0 \end{align*} \)

Cara 2: Pembagian polinomial

Walaupun pembaca tidak tahu identitas aljabar di atas, pembaca masih bisa melakukan pembagian polinomial seperti di bawah ini:

\( n^4 + n^2 + 1 \)
\( =(n^2 + n + 1)n^2 - n^3 + 1 \)
\( =(n^2 + n + 1)n^2 + (n^2 + n + 1)(-n) + n^2 + n + 1 \)
\( =(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1) \)
\( =0 \cdot (n^2 - n + 1) \)
\( =0 \)

\( -1 \)

Untuk menjawab soal ini, perlu dicari hubungan antara \( f(a) \) dan \( f(-a) \) dimana \( a \) adalah sebuah bilangan bulat positif.

\( \begin{align*} f(a) &= \dfrac{1}{2009^a - 1} + \dfrac{1}{2}\\ \\ &= \dfrac{2 + (2009^a - 1)}{2 \cdot (2009^a - 1)}\\ \\ &= \dfrac{2009^a + 1}{2 \cdot (2009^a - 1)} \end{align*} \)

\( \begin{align*} f(-a) &= \dfrac{1}{2009^{-a} - 1} + \dfrac{1}{2}\\ \\ &= \dfrac{2009^a}{1 - 2009^a} + \dfrac{1}{2}\\ \\ &= \dfrac{2 \cdot 2009^a + (1 - 2009^a)}{2 \cdot (1 - 2009^a)}\\ \\ &= \dfrac{2009^a + 1}{2 \cdot (1 - 2009^a)}\\ \\ &= - \dfrac{2009^a + 1}{2 \cdot (2009^a - 1)}\\ \\ &= -f(a) \end{align*} \)

Ternyata \( f(-a) = -f(a) \)
Dengan menggunakan informasi ini:

\( \dfrac{ f(1) + \cdots + f(2012) + f(2013) }{ f(-2013) + f(-2012) + \cdots + f(-1) } \)

\( = \dfrac{ f(1) + \cdots + f(2012) + f(2013) }{ -f(2013) - f(2012) - \cdots - f(1) } \)

\( = \dfrac{ f(1) + \cdots + f(2012) + f(2013) }{ -(f(2013) + f(2012) + \cdots + f(1)) } \)

\( = -1\)

\( -6 \)

Menurut definisi fungsi invers: jika \( f(x)=y \) maka \( f^{-1}(y)=x \)

Dari definisi di atas:

\( f^{-1} \left( \dfrac{5x-9}{x+1} \right) = \dfrac{5x+1}{x-2} \)

Jika \( \dfrac{5x-9}{x+1} = -2 \) maka \( x=1 \)

Jika \( x=1 \) maka \( \dfrac{5x+1}{x-2}=-6 \)

\( 1 \)

Misalkan \( f(1) = a \)

\( \begin{align*} f(f(1)) &= 1^2 - 1 + 1\\ f(a) &= 1 \end{align*} \)

\( \begin{align*} f(f(a)) &= a^2 - a + 1\\ f(1) &= a^2 - a + 1\\ a &= a^2 - a + 1\\ 0 &= a^2 -2a + 1\\ 0 &= {(a-1)}^2\\ a &= 1\\ f(1) &= 1\\ \end{align*} \)

Sekarang, misalkan \( f(0) = b \)

\( \begin{align*} f(f(0)) &= 0^2 - 0 + 1\\ f(b) &= 1 \end{align*} \)

\( \begin{align*} f(f(b)) &= b^2 - b + 1\\ f(1) &= b^2 - b + 1\\ 1 &= b^2 - b + 1\\ 0 &= b(b - 1) \end{align*} \)

Ada dua kemungkinan untuk \( b \), yaitu \( b = 0 \) dan \( b = 1 \)

Kemungkinan 1

Kasus \( b = 0 \)

Jika \( b = 0 \), maka \( f(0) = 0 \)
Sementara, karena \( f(b) = 1 \), maka \( f(0) = 1 \). Terjadi kontradiksi dan kemungkinan ini harus ditolak.

Kemungkinan 2

Kasus \( b = 1 \)

Tidak ada kontradiksi pada kasus ini. Berarti jawaban yang benar adalah \( f(0) = 1 \)

\( f(x) = \dfrac{(x-2)(x-1)}{-3x} \)

\( f(x) - 2f \left( \dfrac{1}{x} \right) = x - 1 \text{ .... (i)} \)

Fakta yang diberikan tidak cukup untuk langsung mencari \( f(x) \). Oleh karena itu, perlu dicari fakta tambahan.

Ambil \( x = \dfrac{1}{x} \)

\( \begin{align*} f \left( \dfrac{1}{x} \right) - 2f(x) &= \dfrac{1}{x} - 1\\ \\ 2f \left( \dfrac{1}{x} \right) - 4f(x) &= \dfrac{2}{x} - 2 \text{ .... (ii)} \end{align*} \)

Jumlahkan persamaan (i) dan (ii):

\( \begin{align*} f(x) - 4f(x) &= x - 1 + \dfrac{2}{x} - 2\\ \\ -3f(x) &= \dfrac{x^2 - x + 2 - 2x}{x}\\ \\ f(x) &= \dfrac{x^2 - 3x + 2}{-3x}\\ \\ f(x) &= \dfrac{(x - 2)(x - 1)}{-3x} \end{align*} \)

Definisi fungsi monoton turun:
Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan monoton turun jika \( x \lt y \) maka \( f(x) \ge f(y) \)

Definisi fungsi monoton turun sejati:
Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan monoton turun sejati jika \( x \lt y \) maka \( f(x) \gt f(y) \)

Dari definisi di atas, rencana pembuktian adalah sebagai berikut:

1. Asumsikan \( x \lt y \)
2. Buktikan \( f(x) \gt f(y) \)

Karena \( x \lt y \) dan \( x \ge 1 \) maka:

\( \sqrt{x} \lt \sqrt{y} \text{ ..... (i)} \)

\( \sqrt{x - 1} \lt \sqrt{y - 1} \text{ ..... (ii)} \)

Dari dua ketaksamaan di atas:

\( \begin{align*} \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} &\lt \sqrt{y} + \sqrt{y - 1}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 1}} &\gt \dfrac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{y - 1}}\\ \\ \dfrac{1}{(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})} \cdot \dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{x - 1})}{(\sqrt{x} - \sqrt{x - 1})} &\gt \dfrac{1}{(\sqrt{y} + \sqrt{y - 1})} \cdot \dfrac{(\sqrt{y} - \sqrt{y - 1})}{(\sqrt{y} - \sqrt{y - 1})}\\ \\ \sqrt{x} - \sqrt{x - 1} &\gt \sqrt{y} - \sqrt{y - 1}\\ \\ f(x) &\gt f(y) \end{align*} \)

Contoh penggunaan lemma ini ada di sini.