Latihan Ketaksamaan
Kumpulan soal latihan ketaksamaan dari berbagai sumber di internet.
Soal 1 - 4: Melihat pola dan simetri.
Soal 1
Mana yang lebih besar? \( \sqrt{101} - \sqrt{100} \) atau \( \sqrt{100} - \sqrt{99} \) ?
jawaban
\( \sqrt{101} - \sqrt{100} \lt \sqrt{100} - \sqrt{99} \)
penjelasan
Teknik ini adalah teknik mengalikan dengan lawan (conjugate).
\( \sqrt{101} - \sqrt{100} \)
\(
\begin{align*}
&= (\sqrt{101} - \sqrt{100}) \cdot \dfrac{(\sqrt{101} + \sqrt{100})}{(\sqrt{101} + \sqrt{100})}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{101} + \sqrt{100}}
\end{align*}
\)
Dengan cara yang sama:
\( \sqrt{100} - \sqrt{99} \)
\(
\begin{align*}
&= (\sqrt{100} - \sqrt{99}) \cdot \dfrac{(\sqrt{100} + \sqrt{99})}{(\sqrt{100} + \sqrt{99})}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}
\end{align*}
\)
Kemudian:
\( \begin{align*} \sqrt{101} &\gt \sqrt{99}\\ \\ \sqrt{101} + \sqrt{100} &\gt \sqrt{100} + \sqrt{99}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{101} + \sqrt{100}} &\lt \dfrac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}\\ \\ \sqrt{101} - \sqrt{100} &\lt \sqrt{100} - \sqrt{99} \end{align*} \)
Soal 2
Mana yang lebih besar? \( \sqrt{2} + \sqrt{7} \) atau \( \sqrt{3} + \sqrt{6} \) ?
jawaban
\( \sqrt{2} + \sqrt{7} \lt \sqrt{3} + \sqrt{6} \)
penjelasan
Penjelasan akan menggunakan teknik kontradiksi.
Pada setiap bilangan riil positif \( a \) dan \( b \), jika \( a \ge b \) maka \( a^2 \ge b^2 \)
Sekarang, asumsikan \( \sqrt{2} + \sqrt{7} \ge \sqrt{3} + \sqrt{6} \)
Berangkat dari teori di atas, jika asumsi \( \sqrt{2} + \sqrt{7} \ge \sqrt{3} + \sqrt{6} \) benar, maka akibatnya \( {(\sqrt{2} + \sqrt{7})}^2 \ge {(\sqrt{3} + \sqrt{6})}^2 \) akan terbukti benar juga.
Apakah akibatnya terbukti benar?
\( \begin{align*} {(\sqrt{2} + \sqrt{7})}^2 &\ge {(\sqrt{3} + \sqrt{6})}^2 \\ 9 + 2 \cdot \sqrt{14} &\ge 9 + 2 \cdot \sqrt{18} \\ \sqrt{14} &\ge \sqrt{18} \end{align*} \)
Ternyata akibatnya salah. Terjadi kontradiksi. Berarti asumsi \( \sqrt{2} + \sqrt{7} \ge \sqrt{3} + \sqrt{6} \) salah dan pernyataan yang benar adalah \( \sqrt{2} + \sqrt{7} \lt \sqrt{3} + \sqrt{6} \)
Soal 3
Mana lebih besar? \( \sqrt{26} \) atau \( \sqrt{17} + 1 \) ?
jawaban
\( \sqrt{26} \lt \sqrt{17} + 1 \)
penjelasan
\( \begin{align*} \sqrt{25} + \sqrt{16} &\lt \sqrt{26} + \sqrt{17} \\ \\ 9 &\lt \sqrt{26} + \sqrt{17} \\ \\ 9 (\sqrt{26} - \sqrt{17}) &\lt (\sqrt{26} + \sqrt{17}) (\sqrt{26} - \sqrt{17}) \\ \\ 9 (\sqrt{26} - \sqrt{17}) &\lt 9 \\ \\ \sqrt{26} - \sqrt{17} &\lt 1 \\ \\ \sqrt{26} &\lt \sqrt{17} + 1 \end{align*} \)
Soal 4
Buktikan bahwa \( { \left( 1 + \dfrac{1}{15} \right) }^{60} \gt 16 \)
bukti
Karena:
\( \dfrac{16}{15} \gt \dfrac{17}{16} \gt \dfrac{18}{17} \gt \cdots \gt \dfrac{30}{29} \)
Maka:
\( \begin{align*} \dfrac{16}{15} \cdot \dfrac{16}{15} \cdot \dfrac{16}{15} \cdots \dfrac{16}{15} &\gt \dfrac{16}{15} \cdot \dfrac{17}{16} \cdot \dfrac{18}{17} \cdots \dfrac{30}{29}\\ \\ { \left( \dfrac{16}{15} \right) }^{15} &\gt \dfrac{30}{15}\\ \\ { \left( 1 + \dfrac{1}{15} \right) }^{15} &\gt 2\\ \\ { \left( 1 + \dfrac{1}{15} \right) }^{60} &\gt 16 \end{align*} \)
soal serupa
Soal serupa ada di sini.