$2024$

Ada dua buah teknik yang bisa dipakai untuk menjawab soal semacam ini. Kedua teknik diberikan karena keduanya sangat berguna. Teknik pertama melatih kecerdikan dan teknik kedua mengajarkan teori yang mungkin tidak diberikan di sekolah.

Teknik 1

Teknik pertama adalah dengan melihat bentuk polinomial yang diberikan dan memanipulasinya menjadi bentuk polinomial yang mudah untuk dikerjakan. Kelebihan teknik ini adalah ia sangat cepat. Kekurangan teknik ini adalah ia memerlukan kecerdikan yang tinggi dan banyak latihan.

Bagaimana mengubah polinomial $x^4+x^2+2025$ menjadi bentuk yang mudah?

$x^4+x^2+2025$
$=x^4+2x^2-x^2+2025$
$=x^4+2x^2+1-x^2+2024$
$={(x^2+1)}^2-x^2+2024$
$=(x^2+1-x)(x^2+1+x)+2024$
$=(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2024$
$=(x^2-x+1)\cdot 0+2024$
$=2024$

Teknik 2

Teknik kedua adalah dengan melakukan pembagian polinomial $x^4+x^2+2025$ oleh polinomial $x^2+x+1$

Teknik ini tidak memerlukan kecerdikan yang tinggi tetapi ia mengharuskan pembaca untuk memahami konsep pembagian polinomial. Selain itu, ia memerlukan kehati-hatian dalam mengoperasikan pembagian polinomial.

Bagaimana melakukan pembagian $x^4+x^2+2025$ oleh $x^2+x+1$?

$x^4+x^2+2025$
$=(x^2+x+1)x^2-x^3+2025$
$=(x^2+x+1)x^2+(x^2+x+1)\left(\mathrm{-x}\right)+x^2+x+2025$
$=(x^2+x+1)x^2+(x^2+x+1)\left(\mathrm{-x}\right)+(x^2+x+1)+2024$
$=(x^2+x+1)(x^2-x+1)+2024$
$=0\cdot (x^2-x+1)+2024$
$=2024$

$12$

Teknik yang diberikan di bawah ini adalah teknik pembagian polinomial. Teknik ini dipilih karena nilai $x^2+x-1$ sudah $0$. Nilai $0$ sangat berguna untuk menyederhanakan polinomial.

$x^5+5x^2+10$
$=(x^2+x-1)x^3-x^4+x^3+5x^2+10$
$=(x^2+x-1)x^3+(x^2+x-1)(-x^2)+2x^3+4x^2+10$
$=(x^2+x-1)(x^3-x^2)+(x^2+x-1)2x+2x^2+2x+10$
$=(x^2+x-1)(x^3-x^2+2x)+(x^2+x-1)2+12$
$=(x^2+x-1)(x^3-x^2+2x+2)+12$
$=0(x^3-x^2+2x+2)+12$
$=12$

$218$

Teknik yang diberikan di bawah ini adalah teknik pembagian polinomial. Teknik ini dipilih karena nilai $x^2-3x-7$ sudah $0$. Nilai $0$ sangat berguna untuk menyederhanakan polinomial.

$x^4+x^3$
$=(x^2-3x-7)x^2+4x^3+7x^2$
$=(x^2-3x-7)x^2+(x^2-3x-7)4x+19x^2+28x$
$=(x^2-3x-7)(x^2+4x)+(x^2-3x-7)19+85x+133$
$=(x^2-3x-7)(x^2+4x+19)+85x+133$
$=0(x^2+4x+19)+85x+133$
$=85x+133$

Sangat jelas terlihat bahwa $a=85$ dan $b=133$. Dengan demikian $a+b=218$

$\mathrm{-17}$

$P\left(\mathrm{-7}\right)=a{\left(\mathrm{-7}\right)}^7+b{\left(\mathrm{-7}\right)}^3+c\left(\mathrm{-7}\right)-5$
$7=-7^{7}a-7^{3}b-7c-5$
$7=-(7^{7}a+7^{3}b+7c)-5$
$7^{7}a+7^{3}b+7c=\mathrm{-12}$

$P\left(7\right)=a\cdot 7^7+b\cdot 7^3+c\cdot 7-5$
$P\left(7\right)=\mathrm{-12}-5$
$P\left(7\right)=\mathrm{-17}$

${\displaystyle \frac{a^2}{10a^2-6a+1}}$

${\displaystyle \frac{x}{x^2+3x+1}=a}$

Karena $a\ne 0$ maka:

${\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{x^2+3x+1}{x}}$

${\displaystyle \frac{1}{a}=x+3+\frac{1}{x}}$

${\displaystyle \frac{1}{a^2}=x^2+9+\frac{1}{x^2}+6x+2+\frac{6}{x}}$

${\displaystyle \frac{1}{a^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+(6x+18+\frac{6}{x})-7}$

${\displaystyle \frac{1}{a^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+6(x+3+\frac{1}{x})-7}$

${\displaystyle \frac{1}{a^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{6}{a}-7}$

${\displaystyle \frac{1}{a^2}-\frac{6}{a}+7=x^2+\frac{1}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{1}{a^2}-\frac{6}{a}+10=x^2+3+\frac{1}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{1-6a+10a^2}{a^2}=\frac{x^4+3x^2+1}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{a^2}{10a^2-6a+1}=\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}}$