Hendra Jaya Napitupulu | Repunit Bukan Kuadrat Sempurna

Repunit Bukan Kuadrat Sempurna

Repunit (repeated unit) adalah bilangan yang hanya terdiri dari satu angka saja. Walaupun repunit bisa menggunakan angka apa saja, tetapi pada soal ini, repunit dibatasi hanya pada repunit yang menggunakan angka 1.

Oleh karena itu, repunit di dalam soal ini didefinisikan sebagai bilangan-bilangan berikut:
$R_{1} = 1$
$R_{2} = 11$
$R_{3} = 111$
$R_{4} = 1111$
...
$R_{n} = \underset{n buah angka 1}{\underset{⏟}{11111111 \dots 1111}}$

Buktikan bahwa $R_{n}$ pasti bukan kuadrat sempurna untuk semua $n \geq 2$ dimana $n \in ℕ$

bukti

Pembuktian akan dilakukan dengan cara memeriksa keterbagian $R_{n}$ oleh 4.
Sebuah bilangan kuadrat sempurna, jika dibagi oleh 4, maka sisa pembagiannya pasti 0 atau 1. Bukti: Sisa Pembagian Kuadrat Sempurna Oleh 4

$R_{n} = 11111111 \dots 1111$
$R_{n} = 11111111 \dots 1100 + 11$
$R_{n} = 11111111 \dots 1100 + 2 \cdot 4 + 3$
$R_{n} \equiv 3 (\mod 4)$

Sudah terlihat bahwa, untuk $n \geq 2$ , sisa pembagian $R_{n}$ oleh 4 adalah 3. Dengan demikian, untuk $n \geq 2$ , $R_{n}$ pasti bukan kuadrat sempurna.