Repunit Bukan Kuadrat Sempurna
Repunit (repeated unit) adalah bilangan yang hanya terdiri dari satu angka saja. Walaupun repunit bisa menggunakan angka apa saja, tetapi pada soal ini, repunit dibatasi hanya pada repunit yang menggunakan angka 1.
Oleh karena itu, repunit di dalam soal ini didefinisikan sebagai bilangan-bilangan berikut:
\( R_1 = 1 \)
\( R_2 = 11 \)
\( R_3 = 111 \)
\( R_4 = 1111 \)
...
\( R_n = \underbrace{11111111 \ldots 111}_{n \text{ buah angka } 1} \)
Buktikan bahwa \( R_n \) pasti bukan kuadrat sempurna untuk semua \( n \ge 2 \) dimana \( n \in \mathbb{N} \)
bukti
Pembuktian akan dilakukan dengan cara memeriksa keterbagian \( R_n \) oleh 4.
Sebuah bilangan kuadrat sempurna, jika dibagi oleh 4, maka sisa pembagiannya pasti 0 atau 1.
Bukti: Sisa Pembagian Kuadrat Sempurna Oleh 4
\( R_n = 11111111 \ldots 1111 \)
\( R_n = 11111111 \ldots 1100 + 11 \)
\( R_n = 11111111 \ldots 1100 + 2 \cdot 4 + 3 \)
\( R_n = 100 \cdot 11111111 \ldots 11 + 2 \cdot 4 + 3 \)
\( R_n = 4 \cdot 25 \cdot 11111111 \ldots 11 + 2 \cdot 4 + 3 \)
\( R_n = 4 \cdot (25 \cdot 11111111 \ldots 11 + 2) + 3 \)
\( R_n \equiv 3 \pmod{4} \)
Sudah terlihat bahwa, untuk \( n \ge 2 \), sisa pembagian \( R_n \) oleh 4 adalah 3. Dengan demikian, \( R_n \) pasti bukan kuadrat sempurna untuk semua \( n \ge 2\).