\( 2^{40} \lt 3^{32} \)

\( \begin{align*} 8 &\lt 9 \\ 2^3 &\lt 3^2 \\ {(2^3)}^{16} &\lt {(3^2)}^{16} \\ 2^{48} &\lt 3^{32} \\ 2^{40} \lt 2^{48} &\lt 3^{32} \\ 2^{40} &\lt 3^{32} \end{align*} \)

\( 3^{100} \gt 4^{75} \)

\( \begin{align*} 9 &\gt 8 \\ 3^2 &\gt 2^3 \\ {(3^2)}^{50} &\gt {(2^3)}^{50} \\ 3^{100} &\gt 2^{150} \\ 3^{100} &\gt {(2^2)}^{75} \\ 3^{100} &\gt 4^{75} \end{align*} \)

\( {31}^{11} \lt {17}^{14} \)

Secara keseluruhan, ketaksamaan yang benar adalah:
\( {31}^{11} \lt 2^{55} \lt 2^{56} \lt {17}^{14} \)

Pembuktiannya sebagai berikut:
\( \begin{align*} {31}^{11} &\lt {32}^{11} \\ {31}^{11} &\lt {(2^5)}^{11} \\ {31}^{11} &\lt {2}^{55} \\ {31}^{11} &\lt {2}^{56} \\ {31}^{11} &\lt {(2^4)}^{14} \\ {31}^{11} &\lt {16}^{14} \\ {31}^{11} &\lt {17}^{14} \end{align*} \)

\( {80}^{11} \lt {28}^{15} \)

Secara keseluruhan, ketaksamaan yang benar adalah:
\( {80}^{11} \lt 3^{44} \lt 3^{45} \lt {28}^{15} \)

Pembuktiannya sebagai berikut:
\( \begin{align*} {80}^{11} &\lt {81}^{11} \\ {80}^{11} &\lt {(3^4)}^{11} \\ {80}^{11} &\lt {3}^{44} \\ {80}^{11} &\lt {3}^{45} \\ {80}^{11} &\lt {(3^3)}^{15} \\ {80}^{11} &\lt {27}^{15} \\ {80}^{11} &\lt {28}^{15} \end{align*} \)

\( {16}^{60} \gt {15}^{61} \)

\( x = \dfrac{ {16}^{60} }{ {15}^{61} } \)

Tujuan pembuktian adalah untuk memeriksa nilai \( x \).
Jika \( x \gt 1 \) maka \( {16}^{60} \gt {15}^{61} \)
Jika \( x \lt 1 \) maka \( {16}^{60} \lt {15}^{61} \)

\( \begin{align*} x &= \dfrac{ {16}^{60} }{ {15}^{60} } \cdot \dfrac{1}{15} \\\\ x &= { \left( \dfrac{ 16 }{ 15 } \right) }^{60} \cdot \dfrac{1}{15} \\\\ x &= { \left( 1 + \dfrac{ 1 }{ 15 } \right) }^{60} \cdot \dfrac{1}{15} \end{align*} \)

Karena di dalam soal latihan ini sudah dibuktikan bahwa \( { \left( 1 + \dfrac{1}{15} \right) }^{60} \gt 16 \) maka:

\( \begin{align*} x &\gt 16 \cdot \dfrac{1}{15} \\ x &\gt 1 \end{align*} \)

\( 34 \)

Dari informasi yang diberikan di soal:
\( \begin{align*} 4^x + 1 &= 7 \\ 4^x &= 6 \end{align*} \)

Kemudian:
\( \begin{align*} {16}^x - 2 &= {(4^2)}^x - 2 \\ &= 4^{2x} - 2 \\ &= {(4^x)}^2 - 2 \\ &= 6^2 - 2 \\ &= 34 \end{align*} \)

\( -1 \)

\( \begin{align*} 2^{2m + 1} + 5(2^m) &= 3 \\ 2 \cdot 2^{2m} + 5 \cdot 2^m - 3 &= 0 \\ 2 \cdot {(2^m)}^2 + 5 \cdot 2^m - 3 &= 0 \end{align*} \)

Misalkan \( x = 2^m \)

\( \begin{align*} 2x^2 + 5x - 3 &= 0 \\ (2x - 1) \cdot (x + 3) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua nilai \( x \) yang memenuhi persamaan di atas:
\( x_1 = \frac{1}{2} \)
\( x_2 = -3 \)

Karena \( x = 2^m \), maka:

Kemungkinan 1

\( \begin{align*} 2^m &= \frac{1}{2} \\ 2^m &= 2^{-1} \\ m &= -1 \end{align*} \)

Kemungkinan 2

\( 2^m = -3 \)

Tidak ada bilangan bulat \( m \) yang memenuhi persamaan di atas.

Kesimpulan

Satu-satunya bilangan bulat \( m \) yang memenuhi adalah \( -1 \)

\( -2 \)

\( \begin{align*} 5^{3x+6} &= 3^{x+2} \\ 5^{3(x+2)} &= 3^{x+2} \\ {125}^{x+2} &= 3^{x+2} \end{align*} \)

Karena pangkat sudah sama sementara basis berbeda, maka satu-satunya kemungkinan adalah ketika pangkat bernilai \( 0 \). Yaitu pada saat \( x = - 2 \)

\( \dfrac{1}{2} \)

Melalui observasi, jelas terlihat bahwa pangkat di ruas kiri dan ruas kanan sama besar, yaitu \( 10 \). Tetapi, basis di ruas kiri dan ruas kanan berbeda, yaitu \( x \) dan \( (x - 1) \). Karena basisnya berbeda, maka hanya satu kemungkinan yang tersisa, yaitu \( x \) dan \( (x - 1) \) adalah invers penjumlahan. Kemungkinan ini juga didukung fakta bahwa kedua ruas dipangkatkan bilangan genap, yaitu \( 10 \).

Karena \( x \) dan \( (x - 1) \) adalah invers penjumlahan, maka:
\( \begin{align*} x + (x - 1) &= 0 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{align*} \)

Jadi, jika \( x = \dfrac{1}{2} \) maka \( x \) dan \( (x - 1) \) menjadi invers penjumlahan. Dan karena dipangkatkan dengan sebuah bilangan genap, maka persamaan pun terpenuhi.

\( 0 \)

\( \begin{align*} a + b &= 77 \\ a &= 77 - b \\ a - 22 &= 55 - b \\ a - 22 &= (-1) \cdot (b - 55) \\ {(a - 22)}^{77} &= {(-1)}^{77} \cdot {(b - 55)}^{77} \\ {(a - 22)}^{77} &= (-1) \cdot {(b - 55)}^{77} \\ {(a - 22)}^{77} + {(b - 55)}^{77} &= (-1) \cdot {(b - 55)}^{77} + {(b - 55)}^{77} \\ {(a - 22)}^{77} + {(b - 55)}^{77} &= 0 \end{align*} \)

\( x = \{1,3,7\} \)

Perhatikan bahwa kedua ruas memiliki pangkat yang sama, yaitu \( x - 3 \). Karena kedua ruas memiliki pangkat sama, maka ada tiga kasus yang akan diperiksa, yaitu

1. Basis sama
2. Pangkat nol
3. Basis adalah invers penjumlahan dan pangkat genap

Kasus 1: basis sama

Dasar argumennya adalah:
Jika \( x + 2 = 2x - 5 \) maka \( {(x + 2)}^{x - 3} = {(2x - 5)}^{x - 3} \)

\( \begin{align*} x + 2 &= 2x - 5 \\ x &= 7 \end{align*} \)

Kasus 2: pangkat nol

Dasar argumennya adalah:
Jika \( x - 3 = 0 \) maka \( {(x + 2)}^0 = {(2x - 5)}^0 \)

\( \begin{align*} x - 3 &= 0 \\ x &= 3 \end{align*} \)

Kasus 3: basis adalah invers penjumlahan dan pangkat genap

Dasar argumennya adalah:
Jika \( (x + 2) + (2x - 5) = 0 \) dan \( x - 3 \) adalah bilangan genap, maka \( {(x + 2)}^{x - 3} = {(2x - 5)}^{x - 3} \)

Kapan \( x + 2 \) dan \( 2x - 5 \) menjadi invers penjumlahan?
\( \begin{align*} (x + 2) + (2x - 5) &= 0 \\ x &= 1 \end{align*} \)
Pada saat \( x = 1 \), maka \( x + 2 \) dan \( 2x - 5 \) akan menjadi invers penjumlahan.

Sekarang, apakah pada saat \( x = 1 \) pangkatnya genap?
Untuk mememeriksanya, substitusikan \( x = 1 \) ke dalam \( x - 3 \) dan diperoleh \( x = -2 \)
Karena \( -2 \) adalah bilangan genap, maka memang benar pangkatnya genap. Jadi \( x = 1 \) juga memenuhi.

Kesimpulan

Ada tiga bilangan riil \( x \) yang memenuhi, yaitu:
\( \begin{align*} x &= 7 \\ x &= 3 \\ x &= 1 \end{align*} \)

\( \{1, 2, 3, 4, 5\} \)

Persamaan ini terpenuhi pada kasus-kasus berikut:

1. Kasus basis bernilai \( 1 \)
2. Kasus basis bernilai \( -1 \) dan pangkat bernilai genap
3. Kasus pangkat bernilai \( 0 \)

Kasus 1

\( \begin{align*} x^2 - 5x + 5 &= 1 \\ x^2 - 5x + 4 &= 0 \\ (x - 4) \cdot (x - 1) &= 0 \end{align*} \)

Dari persamaan di atas, diperoleh dua solusi, yaitu \( x = 1 \) dan \( x = 4 \).

Kasus 2

\( \begin{align*} x^2 - 5x + 5 &= -1 \\ x^2 - 5x + 6 &= 0 \\ (x - 3) \cdot (x - 2) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua \( x \) yang memenuhi persamaan di atas, yaitu \( x = 2 \) dan \( x = 3 \).

Apakah \( x = 2 \) dan \( x = 3 \) menyebabkan pangkat bernilai genap?

Jika \( x = 2 \) disubstitusikan ke \( x^2 - 9x + 20 \) diperoleh \( 6 \). Berarti \( x = 2 \) adalah solusi.

Jika \( x = 3 \) disubstitusikan ke \( x^2 - 9x + 20 \) diperoleh \( 2 \). Berarti \( x = 3 \) adalah solusi.

Tambahan: sebetulnya \( x^2 - 9x + 20 \) pasti bernilai genap untuk semua bilangan bulat \( x \). Pembuktian ada disini.

Kasus 3

\( \begin{align*} x^2 - 9x + 20 &= 0 \\ (x - 4) \cdot (x - 5) &= 0 \end{align*} \)

Dari persamaan di atas, diperoleh dua solusi, yaitu \( x = 4 \) dan \( x = 5 \).

Kesimpulan

Setelah menggabungkan solusi-solusi yang ditemukan di atas, maka himpunan bilangan riil \( x \) yang memenuhi adalah \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \)