$1923$

$(a+27)(a+17)$
$=(a+17+10)(a+17-10)$
$=\left(\right(a+17)+10)\left(\right(a+17)-10)$
$={(a+17)}^2-{10}^2$
$=2023-100$
$=1923$

$36$

Trik untuk menyelesaikan soal semacam ini adalah dengan memulai tanpa akar baru kemudian menjabarkannya.

$(x+28)-x=28$

$(\sqrt{x+28}+\sqrt{x})(\sqrt{x+28}-\sqrt{x})=28$

Karena $\sqrt{x+28}+\sqrt{x}=14$ maka:

$14(\sqrt{x+28}-\sqrt{x})=28$

$\sqrt{x+28}-\sqrt{x}=2$

Persamaan kedua pun diperoleh, yaitu $\sqrt{x+28}-\sqrt{x}=2$

Jumlahkan persamaan pertama dan kedua:

$2\sqrt{x+28}=16$

$\sqrt{x+28}=8$

$x+28=64$

$x=36$

$-\sqrt{3}$

Karena tidak ada petunjuk apa-apa lagi, langkah pertama dimulai dengan mencari nilai $x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sebagai berikut:

$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=\sqrt{3}$

${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2=3$

$x^2+2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=3$

$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=1$

Sudah ada fakta tambahan. Langkah berikutnya adalah mencari nilai $x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ sebagai berikut:

$(x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})=1\cdot \sqrt{3}$

$x^3+x+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=\sqrt{3}$

$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}+\sqrt{3}=\sqrt{3}$

$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=0$

Fakta bahwa $x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=0$ sangat berguna karena fakta ini bisa dipakai untuk membuat lompatan yang jauh seperti di bawah ini:

$(x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}})(x^4+{\displaystyle \frac{1}{x^4}})=0$

$x^7+{\displaystyle \frac{1}{x}}+x+{\displaystyle \frac{1}{x^7}}=0$

$x^7+{\displaystyle \frac{1}{x^7}}+\sqrt{3}=0$

$x^7+{\displaystyle \frac{1}{x^7}}=-\sqrt{3}$

$\sqrt{100}-\sqrt{99}$

Teknik ini adalah teknik mengalikan dengan lawan (conjugate).

$\sqrt{101}-\sqrt{100}$

${\displaystyle =\sqrt{101}-\sqrt{100}\times \frac{\sqrt{101}+\sqrt{100}}{\sqrt{101}+\sqrt{100}}}$

${\displaystyle =\frac{101-100}{\sqrt{101}+\sqrt{100}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{100}}}$

Dengan menggunakan teknik ini, diperoleh

${\displaystyle \sqrt{101}-\sqrt{100}=\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{100}}}$

Dengan cara yang sama, akan diperoleh:

${\displaystyle \sqrt{100}-\sqrt{99}=\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}}$

Karena $\sqrt{101}+\sqrt{100}>\sqrt{100}+\sqrt{99}$ maka:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{100}}<\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}}$

Teknik ini adalah teknik mengalikan dengan lawan (conjugate).

$f\left(x\right)=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}$

${\displaystyle =\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}}$

${\displaystyle =\frac{x-(x-1)}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}}$

Dari teknik di atas, diperoleh:

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}}$

Ambil $x=x+1$ diperoleh:

$f(x+1)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}$

Karena $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}<\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ maka

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}>\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}$

$f\left(x\right)>f(x+1)$

$2024$

Ada dua buah teknik yang bisa dipakai untuk menjawab soal semacam ini. Kedua teknik diberikan karena keduanya sangat berguna. Teknik pertama melatih kecerdikan dan teknik kedua mengajarkan teori yang mungkin tidak diberikan di sekolah.

Teknik 1

Teknik pertama adalah dengan melihat bentuk polinomial yang diberikan dan memanipulasinya menjadi bentuk polinomial yang mudah untuk dikerjakan. Kelebihan teknik ini adalah ia sangat cepat. Kekurangan teknik ini adalah ia memerlukan kecerdikan yang tinggi dan banyak latihan.

Bagaimana mengubah polinomial $x^4+x^2+2025$ menjadi bentuk yang mudah?

$x^4+x^2+2025$
$=x^4+2x^2-x^2+2025$
$=x^4+2x^2+1-x^2+2024$
$={(x^2+1)}^2-x^2+2024$
$=(x^2+1-x)(x^2+1+x)+2024$
$=(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2024$
$=(x^2-x+1)\cdot 0+2024$
$=2024$

Teknik 2

Teknik kedua adalah dengan melakukan pembagian polinomial $x^4+x^2+2025$ oleh polinomial $x^2+x+1$

Teknik ini tidak memerlukan kecerdikan yang tinggi tetapi ia mengharuskan pembaca untuk memahami konsep pembagian polinomial. Selain itu, ia memerlukan kehati-hatian dalam mengoperasikan pembagian polinomial.

Bagaimana melakukan pembagian $x^4+x^2+2025$ oleh $x^2+x+1$?

$x^4+x^2+2025$
$=(x^2+x+1)x^2-x^3+2025$
$=(x^2+x+1)x^2+(x^2+x+1)\left(\mathrm{-x}\right)+x^2+x+2025$
$=(x^2+x+1)x^2+(x^2+x+1)\left(\mathrm{-x}\right)+(x^2+x+1)+2024$
$=(x^2+x+1)(x^2-x+1)+2024$
$=0\cdot (x^2-x+1)+2024$
$=2024$