\( \dfrac{x}{y} = \{-3, -5\} \)

\( x^2 + 8xy + 15y^2 = 0 \)

Jika \( y = 0 \), maka \( \dfrac{x}{y} \) tidak terdefinisi. Oleh karena itu, asumsikan \( y \ne 0 \).

Karena \( y \ne 0 \), maka kedua ruas boleh dibagi oleh \( y^2 \)

\( \begin{align*} \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{8xy}{y^2} + \dfrac{15y^2}{y^2} &= 0\\ \\ {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^2 + 8\left( \dfrac{x}{y} \right) + 15 &= 0 \end{align*} \)

Misalkan \( z = \dfrac{x}{y} \)

\( \begin{align*} z^2 + 8z + 15 &= 0\\ (z + 3)(z + 5) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua \( z \) yang memenuhi, yaitu:
\( \begin{align*} z_1 &= -3\\ z_2 &= -5 \end{align*} \)

Karena \( z = \dfrac{x}{y} \), maka ada dua nilai \( \dfrac{x}{y} \) yang mungkin, yaitu:

\( \dfrac{x}{y} = -3 \) atau \( \dfrac{x}{y} = -5 \)

\( 6 \)

Misalkan \( b = a + 2 \)
\( \begin{align*} (b - 1) \cdot b \cdot (b + 1) &= 504\\ b \cdot (b^2 - 1) &= 504\\ b^3 - b - 504 &= 0\\ (b^3 - 512) - (b - 8) &= 0\\ (b - 8)(b^2 + 8b + 64) - (b - 8) &= 0\\ (b - 8)(b^2 + 8b + 63) &= 0 \end{align*} \)

Karena ruas kanan bernilai nol, maka setidaknya salah satu dari \( (b - 8) \) atau \( (b^2 + 8b + 63) \) harus bernilai nol juga.

Kasus 1

\( \begin{align*} b - 8 &= 0\\ b &= 8\\ a + 2 &= 8\\ a &= 6 \end{align*} \)

Kasus 2

\( b^2 + 8b + 63 = 0 \)
Persamaan di atas tidak mempunyai solusi bilangan riil.

Kesimpulan

Satu-satunya bilangan riil \( a \) yang memenuhi adalah \( a = 6 \)

\( \begin{align*} x_1 &= -6 + \sqrt{10}\\ x_2 &= -6 - \sqrt{10}\\ x_3 &= -6 \end{align*} \)

Persamaan ini sangat panjang untuk langsung dikerjakan. Oleh karena itu, perlu dicari akal untuk menyederhanakan persamaan ini menjadi bentuk yang lebih sederhana, bentuk yang dapat diselesaikan dengan mudah.

Perhatikan bahwa nilai rata-rata dari \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \) dan \( 9 \) adalah \( 6 \).

Misalkan \( y = x + 6 \) maka:
\( \begin{align*} (y - 3)(y - 1)(y + 1)(y + 3) &= 9\\ (y^2 - 9)(y^2 - 1) &= 9 \end{align*} \)

Walaupun sudah terlihat lebih sederhana, tetapi persamaan di atas masih polinomial berderajat \( 4 \). Masih sukar untuk diselesaikan. Sederhanakan lagi.

Perhatikan bahwa nilai rata-rata dari \( -9 \) dan \( -1 \) adalah \( -5 \).

Misalkan \( z = y^2 - 5 \) maka:
\( \begin{align*} (z - 4)(z + 4) &= 9\\ z^2 - 16 &= 9\\ z^2 - 25 &= 0\\ (z - 5)(z + 5) &= 0 \end{align*} \)

Jelas sekali ada dua nilai \( z \) yang mungkin, yaitu:
\( \begin{align*} z_1 &= 5\\ z_2 &= -5 \end{align*} \)

Kemungkinan 1

\( z = 5\)

Karena \( z = y^2 - 5 \) maka:
\( \begin{align*} y^2 - 5 &= 5\\ y^2 - 10 &= 0\\ (y - \sqrt{10})(y + \sqrt{10}) &= 0 \end{align*} \)

Ada dua nilai \( y \) yang mungkin, yaitu
\( \begin{align*} y_1 &= \sqrt{10}\\ y_2 &= -\sqrt{10} \end{align*} \)

Karena \( y = x + 6 \) maka:
\( \begin{align*} x_1 + 6 &= \sqrt{10}\\ x_1 &= -6 + \sqrt{10} \end{align*} \)

\( \begin{align*} x_2 + 6 &= -\sqrt{10}\\ x_2 &= -6 - \sqrt{10} \end{align*} \)

Dari kemungkinan 1, diperoleh dua buah bilangan riil \( x \) yang memenuhi, yaitu:
\( \begin{align*} x_1 &= -6 + \sqrt{10}\\ x_2 &= -6 - \sqrt{10} \end{align*} \)

Kemungkinan 2

\( z = -5 \)

Karena \( z = y^2 - 5 \) maka:
\( \begin{align*} y^2 - 5 &= -5\\ y^2 &= 0\\ y &= 0 \end{align*} \)

Karena \( y = x + 6 \) maka:
\( \begin{align*} x + 6 &= 0\\ x &= -6 \end{align*} \)

Dari kemungkinan 2, diperoleh sebuah bilangan riil yang memenuhi, yaitu \( x = -6 \)

Kesimpulan

Ada tiga buah bilangan riil \( x \) yang memenuhi, yaitu:
\( \begin{align*} x_1 &= -6 + \sqrt{10}\\ x_2 &= -6 - \sqrt{10}\\ x_3 &= -6 \end{align*} \)

\( x_1 = -7 \)
\( x_2 = -7 - \sqrt{40} \)
\( x_3 = -7 + \sqrt{40} \)

Karena rata-rata dari \( 1 \), \( 5 \), \( 9 \), \( 13 \) adalah \( 7 \), ambil \( y = x + 7 \)
\( \begin{align*} (y - 6)(y - 2)(y + 2)(y + 6) &= 144\\ (y^2 - 36)(y^2 - 4) &= 144 \end{align*} \)

Karena rata-rata dari \( -36 \) dan \( -4 \) adalah \( -20 \), ambil \( z = y^2 - 20 \)
\( \begin{align*} (z - 16)(z + 16) &= 144\\ z^2 - 256 &= 144\\ z^2 - 400 &= 0\\ (z - 20)(z + 20) &= 0 \end{align*} \)

Dua nilai \( z \) yang memenuhi:
\( \begin{align*} z_1 &= -20\\ z_2 &= 20 \end{align*} \)

Kemungkinan 1

Kasus \( z = -20 \)
\( \begin{align*} y^2 - 20 &= -20\\ y^2 &= 0\\ y &= 0\\ x + 7 &= 0\\ x &= -7 \end{align*} \)

Kemungkinan 2

Kasus \( z = 20 \)
\( \begin{align*} y^2 - 20 &= 20\\ y^2 - 40 &= 0\\ (y - \sqrt{40})(y + \sqrt{40}) &= 0 \end{align*} \)

Dua nilai \( y \) yang memenuhi:
\( \begin{align*} y_1 &= -\sqrt{40} \\ y_2 &= \sqrt{40} \end{align*} \)

Kemungkinan 2.1

Kasus \( y = -\sqrt{40} \)
\( \begin{align*} x + 7 &= -\sqrt{40} \\ x &= -7 - \sqrt{40} \end{align*} \)

Kemungkinan 2.2

Kasus \( y = \sqrt{40} \)
\( \begin{align*} x + 7 &= \sqrt{40} \\ x &= -7 + \sqrt{40} \end{align*} \)

Kesimpulan

Ada tiga bilangan riil \( x \) yang memenuhi:
\( x_1 = -7 \)
\( x_2 = -7 - \sqrt{40} \)
\( x_3 = -7 + \sqrt{40} \)

\( 1923 \)

\( (a + 27)(a + 7) \)
\( \begin{align*} &= (a + 17 + 10)(a + 17 - 10)\\ &= ((a + 17) + 10)((a + 17) - 10)\\ &= {(a + 17)}^2 - 10^2\\ &= 2023 - 100\\ &= 1923 \end{align*} \)

\( 23 \)

Dari soal diketahui:
\( \begin{align*} x^2 + x - 5 &= 0\\ x^2 + x - 6 &= -1\\ (x + 3)(x - 2) &= -1\\ (x - 2) &= \dfrac{-1}{(x + 3)}\\ {(x - 2)}^2 &= \dfrac{1}{{(x + 3)}^2} \end{align*} \)

Sekarang:

\( {(x + 3)}^2 + \dfrac{1}{{(x + 3)}^2} \)

\( \begin{align*} &= {(x + 3)}^2 + {(x - 2)}^2\\ &= (x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4)\\ &= 2x^2 + 2x + 13\\ &= (2x^2 + 2x - 10) + 23\\ &= 2 \cdot (x^2 + x - 5) + 23\\ &= 2 \cdot 0 + 23\\ &= 23 \end{align*} \)

\( 1 \)

\( \begin{align*} \dfrac{1}{1 + a + ab} &= \dfrac{1}{abc + a + ab} \\ \\ \dfrac{1}{1 + a + ab} &= \dfrac{1}{a(bc + 1 + b)} \\ \\ \dfrac{a}{1 + a + ab} &= \dfrac{1}{1 + b + bc} \end{align*} \)

Sekarang,

\( \begin{align*} \dfrac{1}{1 + b + bc} &= \dfrac{1}{abc + b + bc} \\ \\ \dfrac{1}{1 + b + bc} &= \dfrac{1}{b(ac + 1 + c)} \\ \\ \dfrac{b}{1 + b + bc} &= \dfrac{1}{1 + c + ac} \\ \\ \dfrac{ab}{1 + a + ab} &= \dfrac{1}{1 + c + ac} \end{align*} \)

Akhirnya:

\( \dfrac{1}{1 + a + ab} + \dfrac{1}{1 + b + bc} + \dfrac{1}{1 + a + ac} \)

\( = \dfrac{1}{1 + a + ab} + \dfrac{a}{1 + a + ab} + \dfrac{ab}{1 + a + ab} \)

\( = \dfrac{1 + a + ab}{1 + a + ab} \)

\( = 1 \)

\( 1 : 2 : 3\)

Soal ini cukup susah karena penyelesaiannya memerlukan dua hal. Pertama, kecerdikan untuk mengubah sebuah bentuk/pola yang rumit menjadi bentuk/pola yang lebih sederhana. Kedua, kemampuan analisis yang baik untuk membuat argumen logis.

Oleh karena itu, penjelasan soal ini akan diberikan dalam tempo yang lambat agar semua langkah bisa dipahami dengan baik.

Menyederhanakan

Mula-mula, operasikan dulu persamaan yang diberikan:
\( \begin{align*} 14(x^2 + y^2 + z^2) &= {(x + 2y + 3z)}^2 \\ 14x^2 + 14y^2 + 14z^2 &= x^2 + 4y^2 + 9z^2 + 4xy + 6xz + 12yz \\ 13x^2 + 10y^2 + 5z^2 - 4xy - 6xz - 12yz &= 0 \end{align*} \)

Apakah persamaan di atas masih bisa disederhanakan lagi? Bisa.
\( \begin{align*} 13x^2 + 10y^2 + 5z^2 - 4xy - 6xz - 12yz &= 0 \\ (4x^2 - 4xy + y^2) + (9x^2 - 6xz + z^2) + (9y^2 - 12yz + 4z^2) &= 0 \\ {(2x - y)}^2 + {(3x - z)}^2 + {(3y - 2z)}^2 &= 0 \end{align*} \)

Analisis

Karena \( x, y, z \) adalah bilangan riil, maka \( (2x - y) \), \( (3x - z) \) dan \( (3y - 2z) \) pun pasti bilangan riil juga.

Ingat bahwa \( x^2 \ge 0 \) berlaku benar untuk semua bilangan riil \( x \)

Bermodalkan sifat di atas:
\( \begin{align*} {(2x - y)}^2 &\ge 0 \\ {(3x - z)}^2 &\ge 0 \\ {(3y - 2z)}^2 &\ge 0 \end{align*} \)

Ketaksamaan di atas bermakna:
Nilai minimum dari \( (2x - y) \) adalah \( 0 \)
Nilai minimum dari \( (3x - z) \) adalah \( 0 \)
Nilai minimum dari \( (3y - 2z) \) adalah \( 0 \)

Sekarang, jumlahkan tiga ketaksamaan di atas:
\( {(2x - y)}^2 + {(3x - z)}^2 + {(3y - 2z)}^2 \ge 0 \)

Ketaksamaan ini bermakna:
Nilai minimum dari \( {(2x - y)}^2 + {(3x - z)}^2 + {(3y - 2z)}^2 \) adalah \( 0 \)

Karena nilai \( 0 \) adalah nilai yang dicari, berarti soal ini secara tidak langsung bertanya "bagaimana caranya meminimalkan nilai \( {(2x - y)}^2 + {(3x - z)}^2 + {(3y - 2z)}^2 \)?"

Agar nilai \( {(2x - y)}^2 + {(3x - z)}^2 + {(3y - 2z)}^2 \) minimal, maka ketiga elemen penyusunnya pun harus minimal. Yaitu:
\( \begin{align*} {(2x - y)}^2 &= 0 \\ {(3x - z)}^2 &= 0 \\ {(3y - 2z)}^2 &= 0 \end{align*} \)

Ketiga persamaan di atas bisa diselesaikan dengan mudah dan diperoleh:
\( \begin{align*} x : y &= 1 : 2 \\ x : z &= 1 : 3 \\ y : z &= 2 : 3 \end{align*} \)

Dari ketiga rasio di atas diperoleh rasio keseluruhan:
\( x : y : z = 1 : 2: 3 \)

\( 52 \)

\( \begin{align*} x + \dfrac{1}{x} &= 4\\ \\ {\left( x + \dfrac{1}{x} \right)}^3 &= 64\\ \\ x^3 + 3x + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^3} &= 64\\ \\ x^3 + 3 \left( x + \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x^3} &= 64\\ \\ x^3 + 3 \cdot 4 + \dfrac{1}{x^3} &= 64\\ \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} &= 52 \end{align*} \)

\( -\sqrt{3} \)

Karena tidak ada petunjuk apa-apa lagi, langkah pertama dimulai dengan mencari nilai \( x^2 + \dfrac{1}{x^2} \) sebagai berikut:

\( \begin{align*} x + \dfrac{1}{x} &= \sqrt{3}\\ \\ { \left( x + \dfrac{1}{x} \right) }^2 &= 3\\ \\ x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} &= 3\\ \\ x^2 + \dfrac{1}{x^2} &= 1 \end{align*} \)

Sudah ada fakta tambahan. Langkah berikutnya adalah mencari nilai \( x^3 + \dfrac{1}{x^3} \) sebagai berikut:

\( \begin{align*} \left( x^2 + \dfrac{1}{x^2} \right) \left( x + \dfrac{1}{x} \right) &= 1 \cdot \sqrt{3}\\ \\ x^3 + x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^3} &= \sqrt{3}\\ \\ x^3 + \sqrt{3} + \dfrac{1}{x^3} &= \sqrt{3}\\ \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} &= 0\\ \\ \end{align*} \)

Fakta bahwa \( x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 0 \) sangat berguna karena fakta ini bisa dipakai untuk membuat lompatan jauh seperti di bawah ini:

\( \begin{align*} \left( x^3 + \dfrac{1}{x^3} \right) \left( x^4 + \dfrac{1}{x^4} \right) &= 0\\ \\ x^7 + x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^7} &= 0\\ \\ x^7 + \sqrt{3} + \dfrac{1}{x^7} &= 0\\ \\ x^7 + \dfrac{1}{x^7} &= -\sqrt{3} \end{align*} \)

Pembuktian secara umum ada di sini.

\( 52 \)

Misalkan \( a = \dfrac{x}{y} \) maka \( a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 14 \)

Karena \( x \gt y \) maka \( a \gt 0 \) dan \( a + \dfrac{1}{a} \gt 0 \)

Sekarang, coba cari fakta tambahan.

\( \begin{align*} { \left( a + \dfrac{1}{a} \right) }^2 &= a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} \\ \\ &= 14 + 2 \\ &= 16 \end{align*} \)

Karena \( a + \dfrac{1}{a} \gt 0 \) maka \( a + \dfrac{1}{a} = 4 \)

\( \begin{align*} a^3 + \dfrac{1}{a^3} &= \left( a + \dfrac{1}{a} \right) \left( a^2 - 1 + \dfrac{1}{a^2} \right) \\ \\ &= 4 \cdot (14 - 1) \\ &= 52 \end{align*} \)

\( x = 9 \)

Sebetulnya soal ini cukup mudah untuk diselesaikan dan banyak yang bisa menemukan bahwa \( x = 9 \) memenuhi persamaan yang diberikan. Tetapi, kebanyakan solusi yang diajukan gagal menjawab pertanyaan yang sangat penting, yaitu: "Apakah \( x = 9 \) satu-satunya bilangan riil yang memenuhi persamaan ini?"

Berikut akan diberikan cara yang lebih tepat dalam menyelesaikan soal ini, yaitu dengan mendemonstrasikan bahwa \( x = 9 \) memang satu-satunya bilangan riil yang memenuhi.

\( \begin{align*} x^3 + x^2 &= 810 \\ x^3 + x^2 - 810 &= 0 \\ (x^3 - 729) + (x^2 - 81) &= 0 \\ (x - 9)(x^2 + 9x + 81) + (x - 9)(x + 9) &= 0 \\ (x - 9)(x^2 + 10x + 90) &= 0 \end{align*} \)

Terlihat jelas bahwa ruas kanan bernilai \( 0 \) dan ruas kiri adalah perkalian dua buah ekspresi.

Agar ruas kiri bernilai \( 0 \) maka setidaknya salah satu dari ekspresi \( (x - 9) \) atau \( (x^2 + 10x + 90) \) harus bernilai \( 0 \) juga.

Kemungkinan 1

\( \begin{align*} x - 9 &= 0\\ x &= 9 \end{align*} \)
Kemungkinan 1 memberikan sebuah solusi bilangan riil, yaitu \( x = 9 \)

Kemungkinan 2

\( x^2 + 10x + 90 = 0 \)
Dengan menggunakan rumus abc, diskriminan dari persamaan di atas dapat dicari sebagai berikut:

\( \begin{align*} D &= \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c} \\ D &= \sqrt{{10}^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90} \\ D &= \sqrt{-260} \end{align*} \)

Karena diskriminan bernilai negatif, maka jelas sudah kemungkinan 2 tidak mempunyai solusi bilangan riil.

Kesimpulan

Setelah memeriksa semua kemungkinan yang ada, memang betul bahwa satu-satunya solusi bilangan riil yang memenuhi adalah \( x = 9 \)

\( x = 4 \)

Penyelesaian soal ini sama persis seperti soal sebelumnya: faktorkan dulu sedemikian sehingga ruas kiri berupa perkalian polinomial dan ruas kanan bernilai nol.

\( \begin{align*} x^3 + x &= 68 \\ (x^3 - 64) + (x - 4) &= 0 \\ (x - 4) (x^2 + 4x + 16) + (x - 4) &= 0 \\ (x - 4) (x^2 + 4x + 17) &= 0 \end{align*} \)

Agar ruas kiri bernilai \( 0 \) maka setidaknya salah satu dari polinomial \( (x - 4) \) atau \( (x^2 + 4x + 17) \) harus bernilai \( 0 \) juga.

Cukup jelas bahwa solusi persamaan \( x - 4 = 0 \) adalah \( x = 4 \)

Sementara, persamaan \( x^2 + 4x + 17 = 0 \) tidak mempunyai solusi bilangan riil.

Dengan demikian, satu-satunya bilangan riil \( x \) yang memenuhi adalah \( x = 4 \)

\( k = -2 \)

Cara penyelesaian soal ini sama dengan soal sebelumnya, yaitu dengan cara pemfaktoran.

\( \begin{align*} k^2 - k^3 &= 12 \\ (k^2 - 4) - (k^3 + 8) &= 0 \\ (k - 2)(k + 2) - (k + 2)(k^2 - 2k + 4) &= 0 \\ (k + 2)(k^2 - 3k + 6) &= 0 \end{align*} \)

Agar ruas kiri bernilai \( 0 \) maka setidaknya salah satu dari ekspresi \( (k + 2) \) atau \( (k^2 - 3k + 6) \) harus bernilai \( 0 \) juga.

Cukup jelas bahwa solusi persamaan \( k + 2 = 0 \) adalah \( k = -2 \)

Sementara, persamaan \( k^2 - 3k + 6 = 0 \) tidak mempunyai solusi bilangan riil.

Dengan demikian, satu-satunya bilangan riil \( k \) yang memenuhi adalah \( k = -2 \)

\( x_1 = 25 \)

\( x_2 = \dfrac{27 - 5\sqrt{29}}{2} \)

Melalui intuisi, rasanya cukup mudah untuk menebak bahwa \( x = 25 \) memenuhi persamaan ini. Tetapi karena soal meminta untuk mencari semua bilangan riil \( x \) yang memenuhi, maka pencarian harus terus dilakukan.

Misalkan \( a = \sqrt{x} \) maka:

\( \begin{align*} a^2 + \dfrac{5}{a} &= 26 \\ a^3 + 5 &= 26a \\ a^3 - 26a + 5 &= 0 \end{align*} \)

Karena tadi melalui intuisi sudah ditemukan bahwa \( x = 25 \) adalah solusi untuk persamaan awal, maka \( a = 5 \) pasti memenuhi polinomial di atas.

Oleh karena itu, lakukan pembagian polinomial \( (a^3 - 26a + 5) \) oleh \( (a - 5) \)

\( \begin{align*} a^3 - 26a + 5 &= 0 \\ (a - 5)a^2 + 5a^2 - 26a + 5 &= 0 \\ (a - 5)a^2 + (a - 5)5a - a + 5 &= 0 \\ (a - 5)(a^2 + 5a) + (a - 5)(-1) &= 0 \\ (a - 5)(a^2 + 5a - 1) &= 0 \end{align*} \)

\( a^2 + 5a -1 = 0 \)
Dengan menggunakan rumus abc, nilai \( a \) yang memenuhi persamaan di atas adalah:

\( a_1 = \dfrac{-5 + \sqrt{29}}{2} \)

\( a_2 = \dfrac{-5 - \sqrt{29}}{2} \)

Perhatikan bahwa \( a_2 \lt 0 \) sementara di awal tadi didefinisikan bahwa \( a = \sqrt{x} \)
Karena fungsi akar selalu memberikan nilai non-negatif, maka \( a_2 \) harus ditolak karena ini adalah solusi imajiner.

\( x = a^2 = \dfrac{27 -5 \sqrt{29}}{2} \)

Dengan demikian, ada dua solusi yang memenuhi persamaan di awal, yaitu \( x_1 = 25 \) dan \( x_2 = \dfrac{27 -5 \sqrt{29}}{2} \)

\( 2028 \)

\( \begin{align*} \dfrac{x - 6}{2022} + \dfrac{x - 5}{2023} + \dfrac{x - 4}{2024} &= 3 \\ \\ \left( \dfrac{x - 6}{2022} - 1 \right) + \left( \dfrac{x - 5}{2023} - 1 \right) + \left( \dfrac{x - 4}{2024} - 1 \right) &= 0 \\ \\ \left( \dfrac{x - 6}{2022} - \dfrac{2022}{2022} \right) + \left( \dfrac{x - 5}{2023} - \dfrac{2023}{2023} \right) + \left( \dfrac{x - 4}{2024} - \dfrac{2024}{2024} \right) &= 0 \\ \\ \dfrac{x - 2028}{2022} + \dfrac{x - 2028}{2023} + \dfrac{x - 2028}{2024} &= 0 \\ \\ (x - 2028) \left( \dfrac{1}{2022} + \dfrac{1}{2023} + \dfrac{1}{2024} \right) &= 0 \end{align*} \)

Karena ruas kanan bernilai nol, maka setidaknya salah satu dari ekspresi \( (x - 2028) \) atau \( \left( \dfrac{1}{2022} + \dfrac{1}{2023} + \dfrac{1}{2024} \right) \) harus bernilai nol juga.

Karena ekspresi \( \left( \dfrac{1}{2022} + \dfrac{1}{2023} + \dfrac{1}{2024} \right) \gt 0 \) maka \( (x - 2028) \) haruslah bernilai nol.

Karena \( (x - 2028) \) harus nol, maka \( x = 2028 \)

\( abc \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) \)

\( \begin{align*} abc &= xy \cdot xz \cdot yz \\ abc &= x^2y^2z^2 \end{align*} \)

Karena \( abc \ne 0 \) maka pasti \( x, y, z \ne 0 \)

Sekarang:

\( \begin{align*} \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2y^2z^2} &= \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2y^2z^2} \\ \\ \dfrac{1}{y^2z^2} + \dfrac{1}{x^2z^2} + \dfrac{1}{x^2y^2} &= \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{abc} \\ \\ \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{a^2} &= \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{abc} \\ \\ abc \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) &= x^2 + y^2 + z^2 \end{align*} \)

\( 3 \)

Ruas kiri:
\( x^3 + {(x + 1)}^3 + {(x + 2)}^3 \)
\( = x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) \)
\( = 3x^3 + 9x^2 + 15x + 9 \)

Ruas kanan:
\( {(x + 3)}^3 \)
\( = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \)

Gabungkan kedua ruas:
\( \begin{align*} 3x^3 + 9x^2 + 15x + 9 &= x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \\ 2x^3 - 12x - 18 &= 0 \\ x^3 - 6x - 9 &= 0 \\ (x - 3)(x^2 + 3x + 3) &= 0 \end{align*} \)

Karena tidak ada bilangan riil yang memenuhi \( x^2 + 3x + 3 = 0 \), maka satu-satunya solusi yang memenuhi adalah \( x = 3 \)

Dari soal ini diperoleh identitas:
\( 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 \)

Identitas ini cukup sering digunakan dalam soal.